Operatoren für physikalische Größen in Ortsdarstellung.

Als wir die Schrödinger-Gl. betrachtet haben, haben wir die Operatoren für die Koordinaten und die Impulsen definiert: Die Operatoren der Koordinaten sind einfach $\hat{q}_{x}=x\cdot ,\hat{q}_{y}=y\cdot$ und $\hat{% q}_{z}=z\cdot$, die Operatoren der Impulskomponenten sind $\hat{p}% _{x}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x},\hat{p}_{y}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}$ und $\hat{p}_{z}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial z}$. Die Operatoren von Koordinaten und von Impulsen kommutieren untereinander (sind vertauschbar). Für Kommutatoren einer Koordinate und eines Impulses gilt

$$\left[ \hat{q}_{i}\hat{p}_{k}\right] =i\hbar \delta _{ik}$$

mit $i,k=x,y,z$.

Die Operatoren, die eine Differentiation bewirken, wie $\hat{p}$, nennt man Differentialoperatoren. Enthalten die Operatoren eine Integration, sind sie Integraloperatoren. Es können auch Integrodifferentialoperatoren vorkommen. Einen Operator, der bei der Anwendung auf eine Fkt. aus einem bestimmten Funktionenraum, auf dem er definiert ist, eine Zahl ergibt, nennt man ein Funktional. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen in einem Intervall zwischen $a$ und $b$ zu finden (in 1D) ist $P=\int_{a}^{b}\psi ^{*}(x)\psi (x)dx$. Dies ist ein Integraloperator und ein Funktional von $\psi (x)$. Das Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen

$$\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)dx$$

ist auch ein Funktional. Für solche Produkte werden wir (zunächst als Kurzehandnotation) die folgende Bezeichung einführen (''Dirac-Notation'')

$$\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)dx=\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle .$$

Solche Notation wird bald ihr Eigenleben bekommen!