Die Eigenfunktionsentwicklung in allgemeinem Fall.

Betrachten wir das Eigenwertproblem

$$A\phi =a\phi .$$

I.A. die Menge der Eigenwerten $\{a\}$ besteht aus:

dem diskreten Spektrum $a_{n}$ mit entweder endlichen oder abzählbaren Menge von Werten

Kontinuierlichem Spektrum $a(\nu )$, das durch einen kontinuierlichen Index $\nu$ numeriert ist.

Den disktereten Fall haben wir schon diskutiert.

Im kontinuierlichen Fall ist $\psi (x;\nu )$ eine Eigenfkt. zum Eigenwert $a(\nu )$. Die Norm von dieser Fkt. ist unendlich. Wir nehmen aber an dass das Eigendifferential

$$\Phi _{\Delta \nu }(x;\nu )=\frac{1}{\sqrt{\Delta \nu }}\int... ...2}^{\nu +\Delta \nu /2}\phi (x;\nu ^{\prime })d\nu ^{\prime }$$

(mit hinreichend kleine $\Delta \nu$) eine Funktion mir einer begrenzten Norm ist.

So sind z.B. die Eigenfunktionen der Impulsoperators. Alle für den Hilbert-Raum kennzeichnenden Eigenschaften gelten dann nicht für die WF'nen selbst, sondern für die Eigendifferentiale. Das skalare Produkt von der Funktion selbst ist auf eine $\delta$-Funktion normiert:

$$\left\langle \phi (x;\nu ^{\prime })\phi (x;\nu ^{\prime \pr... ...\right\rangle =\delta (\nu ^{\prime }-\nu ^{\prime \prime }).$$

Die Normierung der Eigendifferenziale ist:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle \Phi _{\Delta \nu }(x;\nu )\vert\Phi _{\Delta \nu... ...-\eta ^{\prime \prime })d\eta ^{\prime }d\eta ^{\prime \prime }. \end{eqnarray*}$$

Das entsprechende Integral ist 1 für $\nu ^{\prime }=\nu$ (richtige Normierung) und 0 falls $\left\vert \nu ^{\prime }-\nu \right\vert >\Delta \nu$.

Bemerkung: Wenn $\nu$ Impuls wäre, so entspräche das Eigendifferential einem Wellenpaket mit endlicher Breite $\Delta \nu$ im Impulsraum, und ist deswegen von einer endlichen Ausdehnung $\Delta x\sim 1/\Delta \nu$ in Ortsraum. Solches Paket ist normierbar (1 Teilchen). $\Delta x$ (und entspr. $\Delta \nu$) muss viel größer sein als alle andere typische Abmessumgen der Problems. Daher entspricht die Betrachtung der Eigendifferentiale der Formalisierung von unserer früheren Wellenpaketvorstellung.

Die EFs des diskreten und kontinuierlichen Spektrums zusammen bilden einen erweiterten Hilbert-Raum, so dass insgesamt, für jede $\psi$

$$\psi (x)=\sum_{n}c_{n}\phi _{n}(x)+\int dv^{\prime }c(\nu ^{\prime })\phi (x;\nu ^{\prime })$$

mit

$$c_{n}=\left\langle \phi _{n}(x)\vert\psi (x)\right\rangle$$

und

$$c(\nu )=\left\langle \phi (x;\nu )\vert\psi (x)\right\rangle .$$

Es gilt die Parceval-Identität:

$$\left\langle \psi \vert\psi \right\rangle =\sum_{n}\left\ver... ...int dv^{\prime }\left\vert c(\nu ^{\prime })\right\vert ^{2}.$$

Wenn so eine Darstellung für jede WF (i.e. jede Funktion aus $L^{2}$) möglich ist, so sagt man, dass das System von Fkt. $\left\{ \phi \right\}$ ein VONS ist. Das VONS ist nicht eindeutig definiert: Es gibt immer die Freiheit

• die Phase jeder Eigenfkt. frei zu wählen

• die Menge der Fkt. zu entarteten Eigenwerten auf verschiedene Art zu orthogonalisieren.

• für das kontinuierliche Spektrum statt Index $\nu$ einen index $% \mu (\nu )$ zu wählen ($\mu (\nu )-$ differenzierbare, monotone Fkt. von $\nu$). Dann $\phi (x;\mu )=(d\mu /d\nu )^{-1/2}\phi (x;\nu )$.

Bemerkung: Nicht alle Hermiteschen Operatoren besitzen ein VON-System der Eigenfunktionen. Alle Operatoren, die die physikalische Messbaren darstellen, besitzen solche.