Ideale Messungen

Die Verteilung der Messwerte von $A$ wird als Verteilung der Messresultate an einer großen Gesamtheit von $N\gg 1$ identischen, unabhängigen Systeme.

• Vor der Messung ist das System durch die Wellenfunktion $\Psi (q,t)$ beschrieben.

• Wärend der Messung wechselwirkt das System mit dem Messgerät; das System alleine besitzt keine Wellenfunktion.

• Nach der Messung ist das System wieder von dem Gerät unabhängig, und besitzt wieder eine WF. Diese WF ist i.A. von der WF vor der Messung unterschiedlich, abgesehen von dem Fall, wenn $\Psi$ die Eigenfunktion von dem Operator $A$ ist.

Diese unkontrollierte Änderung der WF durch WW mit einem Messapparat wird als Wellenpaketreduktion bezeichnet. Der ideale Messaparat wirkt wie ein Filter (oder ''Trenner''):

• Der Messprozess entspricht der Anwendung des entsprechenden Operators $A$ auf die WF (Zustandsvektor) $\Psi$, das i.A. eine lineare Kombination der Eigenfkt. von $\hat{A}$ ist:
  

  $$\Psi _{\mathrm{vor}}=\sum_{n,r}c_{n,r}\psi _{n,r}$$ (36)

  
  
  (hier $n$ numeriert alle unterschiedlichen Eigenwerte $a_{n}$ (EW) von $\hat{A}$, $r$ entspricht der Entartung des entsprechenden EW).
  Bemerkung: Hier und bis auf Weiteres benutzen wir das Summazeichen $% \sum$ für die Summe über die Zustände des diskreten Spektrums und Integral über die Quantenzahlen des kontinuierlichen Spektrums.

• Der Messvorgang entspricht dem Auffinden eines der Werte $a_{n}$, mit der Warscheinlichkeit $w_{n}=\sum_{r}\left\vert c_{n,r}\right\vert ^{2}$. Wenn das Messresultat dem Wert $a_{n}$ entspricht, so ist die WF nach der Messung
  

  $$\Psi _{\mathrm{nach}}=\sum_{r}c_{n,r}\psi _{n,r}$$ (37)

  
  
  Der Filter lässt nur einen Teil der Entwicklung Eq.(36) durch, das dem Wert $n$ entspricht: es findet die Wellenpaketreduktion statt. Bei der Idealmessung werden die WFs $\psi _{n,r}$ (Eigenfunktionen) die gleiche bleiben, wie vor der Messung, sonst ist die messung nicht ideal.
  • Der Messprozess kann zur Präparation des Systems benutzt werden. Z.B. in Stern-Gerlach-Versuch trennt die Apparatur (im Idealfall) die Teilchen mit verschiedenen Werten des Magnetmoments $\mathbf{\mu }$ in verschiedene Kanäle (die Zustände, die gleiche $\mathbf{\mu }$ haben, aber unterschiedliche andere Quantenzahlen werden nicht getrennt). Wenn wir ein Teilchen des ausgehenden Teilchenstrahls ableiten, haben wir nur Teilchen mit vorgegebenem Wert von $\mathbf{\mu }$. Daher wirkt eine Messapparatur wie ein Filter, der die Menge der Quantensysteme (Teilchen) nach dem Wert von $\mathbf{\mu }$ trennt. Gleiche Idee kann zur Präparation des Zustandes mit vorgegebenen Werten von anderen Variablen durch Idealmessung benutzt werden.