Das maximalen Satz der verträglichen Messbaren

Das VONS vom Operator des Messbaren $\hat{A}$ werden wir als Basissystem von $\hat{A}$ betrachten. Wenn alle EW von $\hat{A}$ nicht entartet sind, ist dieses System eindeutig definiert (bis auf Phasen). Wenn Entartung vorliegt, so können die entsprechenden EF unterschiedlicherweise orthogonalisiert werden.

Wenn es noch eine Messbare $B$ gibt, die mit $A$ verträglich ist, kann es sein, dass $\hat{A}$ und $\hat{B}$ zusammen ein eindeutiges VONS der EF besitzen. Wenn das gemeinsame VONS von $\hat{A}$ und $\hat{B}$ trotzden nicht eindeutig definiert ist, so gibt es eine dritte, mit dieser zweier verträgliche Messbare $C$, u.s.w. Man sagt, dass die Messbaren $A,B,..,L$ ein vollständigen Satz der verträglichen Messbaren bilden, wenn die Operatoren $\hat{A},\hat{B},..,\hat{L}$ ein eindeutig definiertes VONS von Eigenfunktionen besitzen. Daher existiert nur eine WF, die dem Eigenwerten $a,b,...,l$ angehört. Die gleichzeitige Messung von $A,B,..,L$ definiert dann eindeutig die Wellenfunktion $\psi _{a,b,...,l}$ nach der Messung.

• Gleichzeitige Messung eines maximalen Satzes $\left\{ a,b,...l\right\}$ von verträglichen Meßbaren, präpariert einen reinen Zustand $\left\vert \psi \right\rangle =\left\vert a,b,...l\right\rangle$.

• Wenn die Messung nicht alle verträglichen Messbaren auflöst, so präpariert die Messung das System in einem gemischten Zustand.

Ein gemischter Zustand zur Zeit $t_{0}$ der Präparation wird durch die Menge der Wellenfunktionen $\Psi _{1}(t_{0}),...,\Psi _{n}(t_{0})$ (der Index entspricht allen durch der Messung nicht aufgelösten Quantenzahlen), mit statistischen Gewichten (Wahrscheinlichkeiten) $p_{1},....,p_{n}$, $\sum_{k}p_{k}=1$ (d.h., der Zustand des Systems ist nicht als reiner Zustand eindeutig definiert, das System befindet sich mit gewisser Wahrscheinlichkeit in einem mit Messergebnissen verträglichen reinen Zustand). Seien $\Psi _{1}(t),...,\Psi _{n}(t)$ die Ls'gen der Schrödingergl. (oder der anderen Gl., die die dynamische Evolution der WF beschreibt), mit Anfangsbedingungen $\Psi _{1}(t_{0}),...,\Psi _{n}(t_{0})$. Das System zur Zeit $t$ wird durch $\Psi _{1}(t),...,\Psi _{n}(t)$ beschrieben, mit gleichen Wahrscheinlichkeiten $p_{1},....,p_{n}$. Sei $\left\langle A\right\rangle _{k}=\left\langle \Psi _{k}(t)\vert\hat{A}\vert\Psi _{k}(t)\right\rangle$ der Mittelwert der Messbaren $A$ zur Zeit $t$ im Zustand $k$. Dann ist der Mittelwert von $A$ in einem gemischten Zustand

$$\left\langle A\right\rangle =\sum_{k}p_{k}\left\langle A\right\rangle _{k}.$$

Diese doppelte Mittelung entspricht der doppelten Unkenntniss über den Ausgang der Messung: Die quantenmechanische Unkenntnis (Indeterminismus der Messwerten wegen der WW zwischen dem System und dem Messgerät) und die Unkenntnis über die genaue Anfangsbedingungen. Analog, wenn $w_{k}^{(i)}$ die Wahrscheinlichkeit ist, ein Resultat $a_{i}$ bei der Messung von $A$ in dem Zustand $\Psi _{k}$ zu bekommen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit $% a_{i}$ bei der Messung von $A$ einen gemischten Zustand zu bekommen

$$w^{(i)}=\sum_{k}p_{k}w_{k}^{(i)}.$$

Das wichtigste Beispiel eines gemischen Quantentenzustandes ist ein Zustand eines statistischen Systems bei der Temperatur $T$. Die möglichen $\Psi _{n}(t)$ sind hier die Eigenfunktionen von $\hat{H}$, und $p_{i}=Z^{-1}\exp \left( -E_{i}/k_{B}T\right)$, mit $k_{B}$ - Boltzmannkonstante. Der Normierungsfaktor

$$Z=\sum_{i}\exp \left( -E_{i}/k_{B}T\right)$$

wird als die kanonische Zustandssumme des Systems bezeichnet, und definiert sein ganzes termodynamisches Verhalten.