Kommutierende Operatoren und verträgliche Messbaren

Nicht alle Messgrößen können gleichzeitig gemessen werden (z.B. Impuls und Koordinate, lt. der Unschärferelation). Diejenige Messbaren, die gleichzeitig scharfe Werte besitzen werden als verträglich bezeichnet. Wie wir schon am Beispielen gesehen haben, entsprechen solche Messbaren den kommutierenden Operatoren.

Betrachten wir 2 Observablen, $A$ und $B$. Nehmen wir an, dass die Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ die gleiche Eigenfunktion $\psi _{0}$ haben, d.h.

$$\hat{A}\psi _{0}=a\psi _{0}$$

und

$$\hat{B}\psi _{0}=b\psi _{0}.$$

Wenn ein physikalisches System zur Zeit der Messung in dem Zustand $\left\vert \psi _{0}\right\rangle$ sich befindet, so wird die Messung von $A$ und $B$ die Werte $a$ und $b$ liefern. Eine notwendige Bedingung dafür ist

$$0=ab\psi _{0}-ba\psi _{0}=\hat{B}\hat{A}\psi _{0}-\hat{A}\hat{B}\psi _{0}=\left[ \hat{A},\hat{B}\right] \psi _{0}.$$

Diese Gleichung ist automatisch erfüllt, wenn

$$\left[ \hat{A},\hat{B}\right] =0,$$

i.e. wenn die Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ kommutieren.

• Wenn 2 Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ kommutieren, so haben sie das gleiche VONS von Eigenfunktionen, und umgekehrt, wenn 2 Operatoren das gleiche VONS von Eigenfunktionen besitzen, so kommutieren sie.
  • Die Messbaren, die den kommutierenden Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ entsprechen, sind verträglich, d.h. das Resultat der Messungen hängt nicht davon ab, welcher Wert, $A$ und $B$, zuerst gemessen wird. Nach solcher Messung wird die WF des Systemes einer gemeinsamen WF der Eigenwerte $a_{m}$ und $b_{n}$ entsprechen.

Beweis: Nehmen wir an, dass $\left[ \hat{A},\hat{B}\right] =0$. Sei $\psi _{a}$ eine EF von $\hat{A}$ zur EW $a$. Diese Fkt. kann über das VONS von Operator $\hat{B}$ entwickelt werden:

$$\psi _{a}=\sum_{m}\phi (a,b_{m})$$

wobei $\phi (a,b_{m})$ eine EF von $\hat{B}$ zur EW $b_{m}$ ist (nicht unbedingt auf 1 normiert). Es kann stets so gemacht werden, dass alle EF $% \phi (a,b_{m})$ zu unterschiedlichen EW $b_{m}$ angehören (wenn es nicht so ist, und den Wert $b_{m}$ entartet ist, wählen wir einfach die entsprechende Linearkombination von $\phi _{r}(a,b_{m})$ als die EF). Führen wir eine Funktion

$$\tilde{\phi}_{m}=(\hat{A}-a)\phi (a,b_{m}).$$

ein. Da $\hat{A}$ und $\hat{B}$ kommutieren, gilt

$$\hat{B}\tilde{\phi}_{m}=\hat{B}(\hat{A}-a)\phi (a,b_{m})=(\h... ...,b_{m})=(\hat{A}-a)b_{m}\phi (a,b_{m})=b_{m}\tilde{\phi}_{m}.$$

Da alle EW $b_{m}$ unterschiedlich sind, sind die WF linear unabhängig. Gleichzeitig gilt aber

$$\sum_{m}\tilde{\phi}_{m}=\sum_{m}(\hat{A}-a)\phi (a,b_{m})=0.$$

Das ist aber nur dann möglich, wenn jede $\tilde{\phi}_{m}$ verschwindet. $\Rightarrow$ $\phi (a,b_{m})$ sind gleichzeitig die EF von $\hat{A}$.

Betrachten wir nun das VONS von EF von $\hat{A}$,

$$\hat{A}\psi _{n,r}=a_{n}\psi _{n,r}.$$

Diese Fkt'en können dann als

$$\psi _{n,r}=\sum_{m,r}\phi _{r}(a_{n},b_{m})$$

dargestellt werden, wobei $\phi _{r}(a_{n},b_{m})$ die EF sowohl von $\hat{A}$ als auch von $\hat{B}$ sind. Die Fkt. $\phi _{r}(a_{n},b_{m})$ brauchen nicht zueinander orthogonal sein, können aber dann orthogonalisiert werden. Nach Orthogonalisierung erhalten wir ein VONS $\chi _{s}(a_{n},b_{m})$ so dass

$$\phi _{r}(a_{n},b_{m})=\sum_{s}c_{rs}\chi _{s}(a_{n},b_{m}).$$

Die Funktionen $\chi _{s}$ bilden das gemeinsames VONS der EF von $\hat{A}$ und $\hat{B}$.

Umgekehrt, bilden $\chi _{s}$ das gemeinsame VONS der EF von $\hat{A}$ und $% \hat{B}$, so gilt

$$\hat{A}\hat{B}\chi _{s}=a_{n}b_{m}\chi _{s}=b_{m}a_{n}\chi _{s}=\hat{B}\hat{A}\chi _{s},$$

so dass $\left[ \hat{A},\hat{B}\right] \chi _{s}=0$. Da jede WF $\psi$ über entsprechende VONS entwickelt werden kann, so $\left[ \hat{A},\hat{B}\right] \psi =0$ und

$$\left[ \hat{A},\hat{B}\right] =0.$$

• Die hintereinender geschalteten Filter für verschiedene verträgliche Variablen schaffen die Zustände mit mehreren vorgegebenen Eigenschaften (die Messung der nicht-verträglichen Variablen, z.B. die Koordinatenmessung nach dem Impulsmessung, stört die Genauigkeit der vorherigen Vorgabe).

Bemerkung: Aus der kommutierenden Observablen $A$ und $B$ kann man neue Observable bilden, $f(A,B)$. Die Funktion der 2 Operatoren $f(% \hat{A},\hat{B})$, auf $\chi _{s}$ angewandt, ergibt

$$f(\hat{A},\hat{B})\chi (a,b)=f(a,b)\chi (a,b).$$