Dualer Raum. Ket- und bra-Vektoren

Der Zustand des Quantensystems wird durch den Zustandsvektor $\left\vert \psi \right\rangle$ beschrieben. Die Skalarprodukte zweier Vektoren $% \left\langle \phi \vert\psi \right\rangle$ sind (wenigstens in Ortsdarstellung) definiert. Genau so sind auch die Mittelwerte $\left\langle \psi \vert\hat{A}% \vert\psi \right\rangle$ und die allg. Matrizenelemente $\left\langle \phi \vert% \hat{A}\vert\psi \right\rangle$. Manchmal erweist es sich als zweckmäßig, dem Symbol $\left\langle \phi \right\vert$ eine eigenständige Bedeutung zu geben.

Der eigentliche Zustandsvektor $\left\vert \psi \right\rangle$ wird als ket-Vektor (Ket) bezeichnet. Der Vektor $\left\langle \psi \right\vert$ (ein bra-Vektor, oder Bra) ist ein Element eines dualen Raumes. Die Notation geht auf DIRAC zurück; ein Skalarprodukt aus Bra und Ket ist einfach ein Bracket (Klammer).

In linearer Algebra kann man jedem linearen Vektorraum einen dualen Raum gegenüberstellen. In einem linearen Raum gehört jede lineare Kombination (z.B. $\left\vert v\right\rangle =\lambda _{1}\left\vert 1\right\rangle +\lambda _{2}\left\vert 2\right\rangle$, wobei $\left\vert 1\right\rangle$ und $\left\vert 2\right\rangle$ dem Raum angehören) wieder dem Raum an. Jede lineare Funktion $\chi (\left\vert \psi \right\rangle )$, auf dem Raum der ket-Vektoren definiert, ist ein Vektor des dualen Raums, und wird als entsprechende Bra $\left\langle \chi \right\vert$ bezeichnet. Der Wert dieser Funktion, den sie bei irgendeinem Vektor $\left\vert \psi \right\rangle$ annimmt ist eine komplexe Zahl. Diese Zahl wird als $\left\langle \chi \vert\psi \right\rangle$ bezeichnet.

Ein Bra ist gleich 0, $\left\langle \chi \right\vert =0$ wenn für jede $\left\vert \psi \right\rangle$, $\left\langle \chi \vert\psi \right\rangle =0.$

Zwei Bra $\left\langle \chi _{1}\right\vert$ und $\left\langle \chi _{2}\right\vert$ sind gleich wenn für jede $\left\vert \psi \right\rangle$, $\left\langle \chi _{1}\vert\psi \right\rangle =\left\langle \chi _{2}\vert\psi \right\rangle$.

Wenn der Raum von $\left\vert \psi \right\rangle$ eine endliche Dimension hat, dann hat der Raum der Bra-Vektoren die gleiche Dimension. Wenn der Raum von $% \left\vert \psi \right\rangle$ unendlichdimensional ist, so ist es auch der Raum von $\left\langle \chi \right\vert$.

Es wird nngenommen, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Vektoren der beiden Räume gibt: jedem Ket $\left\vert \psi \right\rangle$ wird ein Bra $\left\langle \psi \right\vert$ gegenübergestellt, und umgekehrt. Diese Entsprechung ist antilinear, d.h. dem ket-Vektor $\left\vert \psi \right\rangle =\lambda _{1}\left\vert 1\right\rangle +\lambda _{2}\left\vert 2\right\rangle$ entspricht ein bra-Vektor $\left\langle \psi \right\vert =\lambda _{1}\left\langle 1\right\vert +\lambda _{2}\left\langle 2\right\vert$.