Äquivalente Systeme: Binäre Legierung und Gittergas

a) Binäre Legierung, z.B. Cu$_{x}$Zn$_{1-x}$. Hier ist $\sigma _{i}=1$ wenn der Gitterplatz $i$ durch einen Cu-Atom und $\sigma _{i}=-1$ wenn der Platz durch den Zn-Arom besetzt wird. Der Beitrag kinetischer Freiheitsgrade entkoppelt. Die Potentielle Energie lautet:

$$\begin{eqnarray*} E_{pot} &=& \frac{1}{4}\sum_{nn}J_{CuCu}(1+\sigma _{i})(1+\sig... ...gma _{i})(1-\sigma _{j})+(1-\sigma _{j})(1+\sigma _{j})\right] . \end{eqnarray*}$$

($J$ sind die Wechselwirkungsenergien zwischen die entsprechenden Atomen). Zusammenfassend hat man

$$E_{pot}=-J\sum_{nn}\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum_{i}\sigma _{i}+C$$

mit $J=\frac{1}{4}(J_{CuCu}+J_{ZnZn}-2J_{CuZn})$.

b) Das Gittergas. Jedem platz auf einem Gitter wird eine Variable $t_{i}$ gegenübergestellt. Wenn dieser Platz als besetzt gilt, dann ist $t_{i}=1$, wenn der Platz leer ist, dann ist $t_{i}=0$. In diesem Fall ist $E_{pot}=-% \tilde{J}\sum_{nn}t_{i}t_{j}$. Die Einführing der Variable $\sigma _{i}=2t_{i}-1$ reduziert das Modell zu einem Ising-Modell. Man hat:

$$E_{pot}=-J\sum_{nn}\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum_{i}\sigma _{i}+C$$

mit $J=\tilde{J}/4$ und $h=\tilde{J}/2$.