Unschärferelation Energie-Zeit

Im Heisenberg-Bild ist die WF $\left\vert \psi \right\rangle$ zeitunabhängig. Betrachten wir irgendeinen Operator $\hat{A}$ und führen wir die Vektoren $\left( \hat{A}-\left\langle A\right\rangle \right) \left\vert \psi \right\rangle$ und $\left( \hat{H}-\left\langle \hat{H}\right\rangle \right) \left\vert \psi \right\rangle \equiv \left( \hat{H}-E\right) \left\vert \psi \right\rangle$ ein. Für diese zweie Vektoren wenden wir die Schwarz-Ungleichung an (sieh Hausaufgabe ...). Man erhält

$$\Delta A\Delta E\geq \frac{1}{2}\left\vert \left\langle \left[ \hat{A},\hat{H}% \right] \right\rangle \right\vert .$$

Da $\left[ \hat{A},\hat{H}\right] =i\hbar \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle$, bekommen wir

$$\Delta A\Delta E\geq \frac{\hbar }{2}$$

oder

$$\frac{\Delta A}{\left\vert \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle \right\vert }% \Delta E\geq \frac{\hbar }{2}.$$

Der Wert

$$\tau _{A}=\frac{\Delta A}{\left\vert \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle \right\vert }$$

definirt die charakteristische Zeit der Evolution des Systems. Das ist die Zeit während dessen sich der Mittelwert von $A$ verschiebt um die Verteilungsbreite (Varianz) von $A$. Es gilt

$$\tau _{A}\Delta E\geq \frac{\hbar }{2}.$$

Nehmen wir jetzt das minimale $\tau$ für alle mögliche Eigenschften des Systems und assoziieren diese Zeit mit der charakteristischen Evolutionszeit $\tau$ des Systems als solches. Für diese gilt auch

$$\tau \Delta E\geq \frac{\hbar }{2}=0.$$

Wenn das System sich in einem stationären Zustand befindet, so ist für jedes $A$

$$\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =0,$$

$\tau$ ist unendlich, und daher $\Delta E=0$.