Heisenberg-Bild.

In diesem Falle bleibt die Wellenfunktion zeitlich unverändert (d.h. sie ist nur Anfangsbedingung),

$$\psi _{H}(x)=S^{-1}(t)\psi _{Sch}(x,t)=S^{+}(t)\psi _{Sch}(x,t)=\psi _{Sch}(x,0).$$

Dann muss man gleichzeitig die Operatoren transformieren, anhand der allg. Regel

$$\hat{F}_{H}(t)=S(t)^{+}\hat{F}_{Sch}S(t),$$

damit alle Messbaren (Skalarprodukte, Matrizenelemente) unverändert bleiben. Ist $\hat{F}$ im Schrödinger-Bild zeitunabängig, so hängt $\hat{F}_{H}(t)$ explizit von der Zeit ab; $\hat{F}_{H}(0)=\hat{F}_{Sch}$. Die Änderung des Operators $\hat{F}$ nach der endlichen Zeit $\tau$ wird durch die Formel

$$\hat{F}_{H}(t+\tau )=\exp \left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}t\ri... ... \hat{F}% _{H}(t)\exp \left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}t\right)$$

gegeben. Fangen wir bei $t=t_{0}$ an. Wählen wir $\Delta t$ klein, so gilt

$$\hat{F}_{H}(t_{0}+\Delta t)=S(\Delta t)\hat{F}_{Sch}(t_{0})S^{+}(\Delta t).$$

Nehmen wir

$$S(t+\Delta t)\simeq \hat{I}+\Delta t\left. \frac{\partial }{... ...t) \right\vert _{t=0}=\hat{I}+\frac{i}{\hbar }\hat{H}\Delta t.$$

Daher bekommen wir

$$\hat{F}_{H}(t_{0}+\Delta t)=\hat{F}_{H}(t_{0})+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H}% ,\hat{F}(t_{0})\right] \Delta t+...$$

so dass

$$\frac{d\hat{F}_{H}}{dt}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F}\right] =\frac{% 1}{i\hbar }\left[ \hat{F},\hat{H}\right] .$$

Wenn der Operator $\hat{F}$ explizit von der Zeit abhängt, so gilt

$$\frac{d\hat{F}_{H}}{dt}=\frac{1}{i\hbar }\left[ \hat{F},\hat{H}\right] +% \frac{\partial \hat{F}}{\partial t}.$$ (47)