Direkte Zugang

Der direkte Weg hier ist die Zustände in der Energiedarstellung des ungestörten Systems zu beschreiben:

$$\left\vert E_{n}\right\rangle =\sum_{m}a_{nm}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle .$$ (50)

Betrachten wir die Gleichung

$$\left( \hat{H}_{0}+\lambda \hat{H}_{1}\right) \left\vert E_{n}\right\rangle =E_{n}\left\vert E_{n}\right\rangle ,$$

und setzen wir die Entwicklung, Gl.(50), ein:

$$\sum_{m}a_{nm}\left( \hat{H}_{0}+\lambda \hat{H}_{1}\right) ... ...gle =E_{n}\sum_{k}a_{nk}\left\vert E_{k}^{(0)}\right\rangle .$$

Da $\hat{H}_{0}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle =E_{m}^{(0)}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle$ bekommen wir

$$\sum_{m}a_{nm}E_{m}^{(0)}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle... ...gle =E_{n}\sum_{k}a_{nk}\left\vert E_{k}^{(0)}\right\rangle .$$

Um das entsprechende Gleichungssystem explizit zu bekommen bilden wir ein Skalarprodukt mit $\left\vert E_{l}^{(0)}\right\rangle$:

$$\sum_{m}a_{nm}E_{m}^{(0)}\left\langle E_{l}^{(0)}\vert E_{m}... ..._{nk}\left\langle E_{l}^{(0)}\vert E_{k}^{(0)}\right\rangle ,$$

oder

$$a_{nl}E_{l}^{(0)}+\sum_{m}a_{nm}\lambda \left\langle E_{l}^{... ... \hat{H}_{1}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle =E_{n}a_{nl}.$$

Das ergibt ein Gleichungssystem für die Entwicklungskoeffizienten:

$$\left( E_{n}-E_{l}^{(0)}\right) a_{nl}=\lambda \sum_{m}a_{nm}W_{nm}$$

wobei $W_{nm}=\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{H}_{1}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle$ die Matrizenelementen der Störung sind.

Die Entwicklung, Gl.(49) entspricht dann

$$a_{nm}=\delta _{nm}+\lambda a_{nm}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{nm}^{(2)}+...$$

(mit $a_{nm}^{(k)}=\left\langle E_{m}^{(0)}\vert E_{n}^{(k)}\right\rangle$). Setzen wir das in unser Gleichungssystem ein, so erhalten wir für $l=n$

$$\begin{eqnarray*} &&\left( E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2... ..._{nm}+\lambda a_{nm}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{nm}^{(2)}+...\right) . \end{eqnarray*}$$

Der Vergleich der Glieder mit gleichen Potenzen von $\lambda$ ergibt:

$$\begin{eqnarray*} E_{n}^{(1)} &=&W_{nn}\,, \\ E_{n}^{(2)}+E_{n}^{(1)}a_{nn}^{(1)} &=&\sum_{m}W_{nm}a_{nm}^{(1)} \\ ... &=&... \end{eqnarray*}$$

Da $E_n^(1)=W_{nn}$, bekommen wir aus der 2. Gleichung

$$E_{n}^{(2)} = \sum_{m \neq n}W_{nm}a_{nm}^{(1)},$$

die Werte von $a_{nn}^{(1)}$ bleiben unbestimmt. Betrachten wir nun $l\neq n$ so erhalten wir

$$\begin{eqnarray*} a_{nl}^{(1)}\left( E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}\right) &=&W_{nl}\,,... ...right) a_{nl}^{(2)} &=&\sum_{m}W_{lm}a_{nm}^{(1)} \\ ... &=&... \end{eqnarray*}$$

Aus 1. Gleichung des 2. System bekommen wir in der 1. Näherung

$$a_{nm}^{(1)}=\frac{W_{nm}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}},$$

so dass die Wellenfunktion in der 1. Näherung ist

$$\left\vert E_{n}\right\rangle \simeq \left\vert E_{n}^{(0)}\... ...E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle .$$

Wir setzen voraus, das die Wellenfunktionen in jeder Näherung normiert werden müssen. Der Wert $a_{nn}^{(1)}$ ist dann aus der Normierungsbedingung zu finden:

$$1=\left\langle E_{n}\vert E_{n}\right\rangle \simeq \left\la... ...ght) \left\langle E_{n}^{(0)}\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle .$$

Daher gilt $a_{nn}^{(1)}+a_{nn}^{(1)*}=0$: $a_{nn}^{(1)}$ ist rein imaginär. Da die Wellenfunktion nur bis zu einem Phasenfaktor bestimmt wird, können wir $a_{nn}^{(1)}$ als reell voraussetzen und gleich 0 annehmen. Daher

$$\left\vert E_{n}\right\rangle \simeq \left\vert E_{n}^{(0)}\... ...E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle .$$

Bemerkung 1: Daraus folgt, dass in der 1. Ordnung für die WF $% \left\langle E_{n}^{(0)}\vert E_{n}\right\rangle =1$, d.h. $E_{n}^{(1)}$ ist orthogonal zu $E_{n}^{(0)}$.

Unter Benutzung der Werte von $a_{lm}^{(1)}$ erhalten wir aus dem 1. Gleichungssystem

$$E_{n}^{(2)}=\sum_{m\neq n}\frac{W_{mn}W_{nm}}{E_{n}^{(0)}-E_... ...{\left\vert W_{nm}\right\vert ^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}.$$

Wichtig: Die Korrektur 2. Ordnung zur Energie des Grundzustandes $% E_{0}^{(0)}<E_{m}^{(0)}$ $\forall m$ ist stets negativ.

Insgesamt lautet die Energie in der 2. Ordnung der Störungstheorie (jetzt in jeder beliebigen Darstellung, da die Matrizenelementen darstellungsunabhängig sind) unter Voraussetzung $\lambda =1$

$$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\left\langle n\vert\hat{W}\vert n\right\ra... ...ht\rangle \right\vert ^{2}}{% E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}+...\;.$$ (51)

Gleichermassen bekommt man auch die höheren Näherungen. Wir werden später ein ''automatisiertes'' Schema dafür entwickeln. Damit die Resultate der Störungstheorie möglichst gut sind, soll die Störung $\hat{H}_{1}$ möglichst ''klein'' sein (im Sinne seiner Matrizenelementen). Es ist sehr vorteilhaft, wenn die Energieabstände im ungestörten System möglicht groß sind. Am besten soll

$$\left\vert \left\langle n\vert\hat{W}\vert n\right\rangle \right\vert \ll E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}$$

gelten.
Bemerkung 2: Da

$$\left( \hat{H}_{0}+\lambda \hat{H}_{1}\right) \left\vert E_{n}\right\rangle =E_{n}\left\vert E_{n}\right\rangle ,$$

gilt

$$\left\langle E_{n}^{(0)}\vert\left( \hat{H}_{0}+\lambda \hat... ...angle =E_{n}\left\langle E_{n}^{(0)}\vert E_{n}\right\rangle .$$

Aus der Normierung (Bemerkung 1) folgt dass in der 2. Ordnung in Energie (1. Ordnung in WF)

$$E_{n}\simeq \left\langle E_{n}^{(0)}\vert\left( \hat{H}_{0}+\lambda \hat{H}% _{1}\right) \vert E_{n}\right\rangle .$$ (52)