Etwas andere Schreibeweise

Für die Berechnung der Korrektur zur Energie des $n$-ten stationären Zuständes muß man die Energieniveaus $E_{n}^{(0)}$ und die Wellenfunktionen $\phi _{n}$ des ungestörten Systems (für die Matrizenelementen) möglichst genau kennen. Es ist aber oft so, dass nur die ersten angeregten Zustände eines ungestörten System hinreichend gut bekannt sind (durch numerische Rechnung der Schrödingergl. oder durch Variationsverfahren). Man kann die Formel der Störungstheorie so umformen, das bei den Berechnungen für die niedrigen Niveaus die Rolle der höher liegenden Niveaus vermindert wird. Führen wir die identische Umformung

$$\frac{1}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}=\frac{1}{E_{n}^{(0)}}+\fra... ...}^{(0)}}{% E_{n}^{(0)}\left( E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right) }.$$

Verwenden wir die Gl. der 1. Ordnung für die Wellenfunktion

$$\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\vert E_{n... ... E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle ,$$

so dass

$$\begin{eqnarray*} \left\vert E_{n}^{(1)}\right\rangle &=&\sum_{m\neq n}\frac{W_{... ...}\frac{1}{E_{n}^{(0)}}W_{nm}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle \end{eqnarray*}$$

Benutzen wir die Tatsache, dass

$$\lambda \hat{H}_{1}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle =\lam... ...ambda \sum_{m\neq n}W_{mn}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle$$

(da $\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{H}_{1}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(1)}$). Daher

$$\sum_{m\neq n}W_{nm}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle =\ha... ...right\rangle -E_{n}^{(1)}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle .$$

In der 1. Ordnung der Störungstheorie erhalten wir dann für die Wellenfunktion

$$\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\vert E_{n... ..._{m}^{(0)}\right) }W_{mn}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle .$$

Unter Benutzung der Gl.(52) bekommen wir in der 2. Ordnung

$$\begin{eqnarray*} E_{n} &=&\left\langle E_{n}^{(0)}\vert\left( \hat{H}_{0}+\lamb... ...le E_{n}^{(0)}\vert\hat{H}% _{1}\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle . \end{eqnarray*}$$

Da $\left\langle E_{n}^{(0)}\vert\hat{H}_{1}\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle =W_{nm}$ und $E_{n}^{(1)}=\left\langle E_{n}^{(0)}\vert\hat{H}_{1}\vert E_{n}^{(0)}\right \rangle$ bekommen wir ($\lambda =1$)

$$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\frac{\left\langle n\vert\hat{W}^{2}\vert ... ...ert ^{2}}{E_{n}^{(0)}\left( E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right) }.$$ (53)

Das Matrizenelement $\left\langle n\vert\hat{W}^{2}\vert n\right\rangle$ können wir auch als eine Summe ausschreiben:$\hat{I}$

$$\left\langle n\vert\hat{W}^{2}\vert n\right\rangle =\left\la... ...eft\langle n\vert\hat{W}\vert m\right\rangle \right\vert ^{2}.$$

Bei der üblichen Abzählungsweise der Niveaus des diskreten Spektrums (die Energie des Grundzustands ist negativ und groß, die Beträge der Energien der angeregten Zustände kleiner, ist $\vert E_{m}^{(0)} / E_{n}^{(0)} \vert < 1$, was die Konvergenz der Reihe beschleunigen kann.

Es sind auch viele andere Umformungen möglich, die möglicherweise die Konvergenz der Reihen beschleunigen. Die folgen aus einer allgemeinen Grundformel für die Störungstheorie (später).