Interessante Anwendungsbeispiel: Das Einstein-Podolsky-Rosen Paradox

Betrachten wir z.B. einen Zustand eines 2-Elektronensystems, das in einem Singulettzustand präpariert ist.

Konzentrieren wir uns auf den Spinanteil so ist der Hilbertraum das Tensorprodukt zweier zweidimensionalen Hilberträumen für die entsprechende Spins: $% H=H_{1}\otimes H_{1}$ ($H_{1}$-Hilbertraum der Einteilchenzustände). Als Basis in $H_{1}$ können wir die Eigenfunktionen von

$$\hat{S}_{z}=\frac{\hbar }{2}\left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

benutzen: Die Basisvektoren sind

$$\begin{eqnarray*} \left\vert +_{z}\right\rangle &=& \left( \begin{array}{l} 1 \... ...t\rangle &=& \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right). \end{eqnarray*}$$

Jeden Vektor in dem Hilbertraum kann man als lineare Kombination der Basisvektoren darstellen. So z.B. die Eigenvektoren von

$$\hat{S}_{x}=\frac{\hbar }{2}\left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$

sind

$$\left\vert +_{x}\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \beg... ...ert +_{z}\right\rangle +\left\vert -_{z}\right\rangle \right)$$

und

$$\left\vert +_{x}\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \be... ...rt +_{z}\right\rangle -\left\vert -_{z}\right\rangle \right) .$$

Der Spinanteil an der Gesamtwellenfunktion in einem Singulett ist

$$\left\vert \psi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \lef... ...1)}\right\rangle \left\vert +_{z}^{(2)}\right\rangle \right) .$$

Diese Funktion lässt sich gleichfalls auch als

$$\left\vert \psi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \lef... ...2)}\right\rangle \left\vert +_{x}^{(1)}\right\rangle \right) .$$

schreiben. Die Spinzustände der Elektronen im Singulett sind verschränkt (entangled): Die Messung von $S_{z}$ am Elektron 1 (einem am Orte $x_{1}$, das dem Beobachter A, Alice zu Verfügung steht; i.A. numerieren die Indizes nicht die Elektronen, sondern die Beobachtungsorte!) ergibt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit die Werte $1$ und $-1$. Das Zustand nach dem Messung kann dann so definiert werden: Ergibt die Messung 1, was mit der Wahrscheinlichkeit $p=1/2$ da

$$\left\vert +_{z}^{(1)}\right\rangle \left\langle +_{z}^{(1)}... ...ngle =% \frac{1}{\sqrt{2}}\left\vert -_{z}^{(2)}\right\rangle$$

ist das Zustand von Teilchen 2 (von Beobachter B, Bob) ist auch fixiert, und der ist $\left\vert -_{z}^{(2)}\right\rangle$. Ergibt die Messung $% -1$, so wird das Zustand der Teilchen 2 $\left\vert -_{z}^{(1)}\right\rangle$.

Nehmen wir an, dass Alice nicht $S_{z}$ sondern $S_{x}$ misst. In diesem Fall, wenn sie 1 bekommt, so ist der Zustand von Teilchen 2 $\left\vert -_{x}^{(2)}\right\rangle$ sonst ist es $\left\vert +_{x}^{(2)}\right\rangle$. Da das Elektron 2 nicht gleichzeitig einen scharfen Wert von $S_{z}$ und $% S_{x}$ haben kann (Vertauschungsbedingung $\Rightarrow$ Unschärferelation) muss man annehmen, das sein Spinzustand vor der Messung nicht definiert ist:

Ein Paar $\neq$ zwei Stück.

Experimentell wird dieses Verhalten für ein anderes System nachgewiesen: für einen Biphoton (zwei Photonen in einem Singulettztstand, mit entsprechendem antisymmetrisiertem räumlichen Anteil der Wellenfunktion die 2 in entgegengesetzten Richtungen laufenden Wellen entspricht).