Das Kepler-Problem

(Hier wird angenommen, dass $M_{kern}>>m_{e}$). Am besten zu beschreiben in Polarkoordinaten. Übergang von

$$\mathcal{L}=\frac{m}{2}\mathbf{v}^{2}-U(r)$$

zu

$$\mathcal{L}=\frac{m}{2}\left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\vartheta}^{2}+r^{2}\cos ^{2}\vartheta ~\dot{\phi}^{2}\right) -U(r)$$

mit

$$U(r)=-\frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{1}{r}$$

Die Hamiltonfkt. des Problems (in Kugelkoordinaten) ist

$$H=\frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}}p_{\vartheta }... ...{% r^{2}\sin ^{2}\vartheta }p_{\phi }^{2}\right) -\frac{k}{r}$$

mit $k=e^{2}/4\pi \varepsilon _{0}$. Die Koordinate $\phi$ ist zyklisch, d.h.

$$\frac{\partial H}{\partial \phi }=0$$

daher ist der dazugehörige Impuls

$$p_{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\vartheta \dot{\phi}$$

konstant (erhalten). Dieser Impuls fällt mit der $z$-Komponente $L_{z}$ des Drehimpuls zusammen. (Bewegungsintegral). Die Bewegung erfolgt in einer festen Ebene. Die Energie $E=H$ ist auch ein Bewegungsintegral.

Eleganteste Lösung für die periodische Bewegung: Übergang zu Wirkung-Winkel Variablen, die neue verallg. Koordinaten und Impulse $\bar{q}=\bar{q}(q,p,t)$, $\bar{p}=\bar{p}(q,p,t)$ und eine neuen Hamiltofkt. $\mathcal{H}_{1}=\mathcal{H}_{1}(\bar{p},\bar{q},t)$.

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \bar{q}_{i}}{\partial t} &=&\frac{\partial \mat... ...l t} &=&-\frac{\partial \mathcal{H}_{1}}{% \partial \bar{q}_{i}} \end{eqnarray*}$$

Die Winkelvariablen sind zyklisch und definieren entsprechende Frequenzen, die dazugehörige verallgemeinerte Impulse (Wirkungsvariablen) sind konstant, d.h. die stellen die Bewegungsintegrale dar:

$$\frac{\partial \mathcal{H}_{1}}{\partial \bar{q}_{i}}=0\qqua... ...ftrightarrow \qquad \mathcal{H}_{1}=\mathcal{H}_{1}(\bar{p}).$$