Kanonische Transformation.

Die Transformation von alten zu neuen Variablen erfolgt über eine erzeugende Funktion $W(q,\bar{p},t)$ so dass

$$p_{j}=\frac{\partial W}{\partial q_{j}};\qquad \bar{q}_{j}=\... ...mathcal{H}_{1}=\mathcal{H}+\frac{\partial W}{% \partial t}=E.$$

Da $p_{j}=\partial W/\partial q_{j}$, erfüllt $W$ die HAMILTON-JACOBI-Differenzialgleichung

$$H\left( q_{1},...,q_{s};\frac{\partial W}{\partial q_{1}},...,\frac{\partial W}{\partial q_{s}}\right) =E=const.$$

Die Gl. bestimmt die $q$-abhängigkeit der Erzeugende; die neuen Impulse sind nicht eindeutig festgelegt ($s$ Integrationskonstanten $I_{1},...,I_{s}$, zusammengefasst in Wektor $\mathbf{I}$) und können zweckmässig gewählt werden. In unserem Fall

$$\frac{1}{2m}\left[ \left( \frac{\partial W}{\partial r}\righ... ...\partial W}{\partial \phi }\right) ^{2}\right] -\frac{k}{r}=E$$

Variablentrennung: $W=W_{r}(r,\mathbf{I)+}W_{\vartheta }(\vartheta ,\mathbf{% I)+}W_{\phi }(\phi ,\mathbf{I)}$. Da $\phi$ shon zyklisch ist, ist

$$p_{\phi }=\frac{\partial W}{\partial \phi }=\frac{\partial W_{\phi }(\phi )}{% \partial \phi }=I_{\phi },$$

identisch mit $L_{z}$. Daher:

$$\frac{1}{2m}\left[ \left( \frac{\partial W}{\partial r}\righ... ...% \frac{k}{r}+\frac{L_{z}^{2}}{2mr^{2}\sin ^{2}\vartheta }=E.$$

potentielle + ''zentrifugale'' Energie. Sortieren, $\times r^{2}$ multiplizieren:

$$\frac{r^{2}}{2m}\left( \frac{\partial W}{\partial r}\right) ... ...ht) ^{2}+% \frac{I_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }\right] .$$

Linke Seite hängt nur von $r$ ab; rechte Seite nur von $\vartheta$ $% \Rightarrow$ beide müssen konstant sein.

$$\left( \frac{\partial W}{\partial \vartheta }\right) ^{2}+\frac{I_{\phi }^{2}% }{\sin ^{2}\vartheta }=I_{\vartheta }^{2}.$$

$I_{\vartheta }^{2}$ ist mit dem Quadrat des Drehimpulses identisch: $% I_{\vartheta }^{2}=\left\vert \mathbf{L}\right\vert ^{2}$. Letzlich,

$$\left( \frac{\partial W}{\partial r}\right) ^{2}+\frac{\left... ...{L}% \right\vert ^{2}}{r^{2}}=2m\left( E+\frac{k}{r}\right) .$$

Die neue verallg. Impulse sind die Funktionen der Integrationskonstanten $% \mathbf{I}$. Zweckmässig ist die Wahl von Wirkungsvariablen $J_{i}$ als verallg. Impulse:

$$J_{i}=\oint p_{i}dq_{i}=\oint \frac{\partial W_{i}(q_{i},\mathbf{I})}{% \partial q_{i}}dq_{i}=J_{i}(\mathbf{I})$$

(Integral ''hin'' und ''zurück'' über die Periode der Bewegung). Dieser Wahl wird klar, wenn wir die Eigenschaften der adiabatischen Invarianten diskutieren (siehe Abschnitt...). Die Winkelvariablen sind $% \omega _{i}=\partial W/\partial J_{i}$. In unserem Fall

$$J_{\phi }=\oint \frac{\partial W_{\phi }(\phi ,\mathbf{I})}{\partial \phi }% d\phi =2\pi I_{\phi }\equiv 2\pi L_{z}.$$ (2)

ist elementar. Ferner,

$$J_{\vartheta }=\oint \frac{\partial W_{\vartheta }(\vartheta... ... }^{2}-\frac{I_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}d\vartheta .$$

Da die Periode der $\vartheta$-Bewegung erfolgt zwischen der Umkehrpunkten, wo $p_{\vartheta }=0$, d.h. $\sin \vartheta _{1,2}=\left\vert I_{\phi }/I_{\vartheta }\right\vert$ ergibt die Integration (Tabellenintegral) dann

$$J_{\vartheta }=2\pi \left( I_{\vartheta }-I_{\phi }\right) \equiv 2\pi (\left\vert \mathbf{L}\right\vert -L_{z}).$$ (3)

Die letzte Wirkungsvariable ist dann

$$\begin{eqnarray*} J_{r} &=&\oint \sqrt{2m\left( E+\frac{k}{r}\right) -\frac{\lef... ...2}r^{2}}}dr= \\ &=&\oint \sqrt{2m\left( E-U_{eff}(r)\right) }dr \end{eqnarray*}$$

mit

$$U_{eff}=\frac{k}{r}-\frac{\left( J_{\phi }+J_{\vartheta }\right) ^{2}}{4\pi ^{2}r^{2}}$$

(Potenzial der Coulomb'schen und ''zentrifugalen'' Kräfte). Die Umkehrpunkte sind die Nullstellen von $E-U_{eff}(r)$. Die Integration (sieh Nolting, Band.2, §3.5.3) ergibt:

$$J_{r}=-(J_{\phi }+J_{\vartheta })+\pi k\sqrt{\frac{2m}{-E}}.$$ (4)

(gebunden sind nur die Zustände mit $E<0$, sonnst ist die Bewegung nicht mehr finit).

Die Gl. (2), (3) und (4) lassen sich nach $E$ auflösen:

$$\mathcal{H}_{1}=E=-\frac{me^{4}}{8\pi \varepsilon _{0}^{2}}\frac{1}{% (J_{r}+J_{\vartheta }+J_{\phi })^{2}}.$$

Die Frequenzen sind, offensichtlich, entartet

$$\begin{eqnarray*} \nu _{j} &=&\dot{\omega}_{j}=\frac{\partial \mathcal{H}_{1}}{\... ...epsilon _{0}^{2}}\frac{1}{(J_{r}+J_{\vartheta }+J_{\phi })^{3}}. \end{eqnarray*}$$

Die Entartung ist sehr störend, kann aber durch eine nochmalige kanonische Transformation

$$\left( \mathbf{\omega },\mathbf{J}\right) \rightarrow \left( \mathbf{\bar{% \omega}},\mathbf{\bar{J}}\right)$$

aufgehoben werden, mir der erzeugenden Funktion

$$F(\mathbf{\omega ,\bar{J}})=(\omega _{\phi }-\omega _{\varth... ..._{\vartheta }-\omega _{r})\bar{J}_{2}+\omega _{r}\bar{J}_{3}.$$

Neue Variablen sind:

$$\begin{array}{l} \bar{\omega}_{1}=\omega _{\phi }-\omega _{\... ...} \\ \bar{J}_{3}=J_{r}+J_{\vartheta }+J_{\phi } \end{array},$$

die neue(ste) Hamilton-Fkt. ist

$$\mathcal{H}_{2}=E=-\frac{me^{4}}{8\pi \varepsilon _{0}^{2}}\frac{1}{\bar{J}% _{3}^{2}},$$

und die Frequenzen sind

$$\nu _{1}=\nu _{2}=0;\quad \nu _{3}=\frac{me^{4}}{4\pi \varepsilon _{0}^{2}}% \frac{1}{\bar{J}_{3}^{3}}.$$

Man nennt $\bar{J}_{3}$ eine Eigenwirkungsvariable: Die zugehörige Frequenz ist nicht Null und nicht entartet. Für die entsprechende Frequenz $\nu =\nu _{3}$ kann man auch schreiben

$$\nu =\left( \frac{4\pi \varepsilon _{0}^{2}}{me^{4}}\right) ^{1/2}\left\vert E\right\vert ^{3/2}.$$