Grundriss der klassischen Mechanik

• Für ein Teilchen genügen 2 Variablen (Koordinate und Geschwindigkeit / Impuls) pro Raumdimension. Insgesamt ist der Zustand des Systems aus mehreren Teilchen ($N$ Koordinaten) als Punkt in Phasenraum der (verallgemeinerten) Koordinaten/Impulse gegeben:
  
  $$\pi =(q_{1},...,q_{N};p_{1},...,p_{N}).$$
  
  
  LAGRANGE'sche Formulierung und Extremale Wirkung: Die Lagrange-Funktion $\mathcal{L}(q,\dot{q},t)$ (typischerweise $\mathcal{L}(q,% \dot{q},t)=T-U$, $T$-kinetische Energie, $U$-potenziele Energie) definiert das Integral
  
  $$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathcal{L}(q,\dot{q},t)dt$$
  
  
  (Wirkung), das entlang der ''richtigen'' Trajektorie $q(t)$ extremal (minimal) ist. Daher folgen die Bewegungsgl:
  
  $$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=0.$$
  
  
  Z.B. ein Teilchen in einem Potential $U(x)$:
  

  $$\mathcal{L}=\frac{m\dot{x}^{2}}{2}-U(x).$$ (1)

  
  
  $\Longrightarrow$
  
  $$\frac{d}{dt}m\dot{x}+\frac{dU}{dx}=0$$
  
  
  oder
  
  $$ma=f.$$
  
  
  Wichtige Bemerkung:
  
  $$p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}$$
  
  
  ist ein (verallgemeinertes) Impuls. Z.B. für (1) erhälte man $p=mv$.

• HAMILTON'sche Formulierung: ($N$ Koordinaten) startet von einer Hamiltonfunktion
  
  $$\mathcal{H}(q,p,t)=\sum p_{i}\dot{q}_{i}-\mathcal{L}$$
  
  
  Die Hamilton'sche Bewegungsgleichungen
  $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial q_{i}}{\partial t} &=&\frac{\partial \mathcal{H... ...{i}}{\partial t} &=&-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}} \end{eqnarray*}$$
  
  
  Besonders vorteilhaft für konservative Systeme: in diesem Fall ist $\mathcal{H}=const$ und ist gleich der Gesamtenergie des Systems.

• Für die Felder (z.B. Elektromagnetismus) $\mathbf{E}(\mathbf{r}% ,t),\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$ ist Lagrange'sche Formulierung möglich.

• Theorie der Wechselwirkung der Teilchen (Elektronen, J.J. Thomson, 1897) mit EM Felder (Lorentz)