Lichtwellen

Aus den Maxwell-Gleichungen für die Feldvariablen folgt die Wellengleichung

$$\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}=\frac{c^{2}}{n^{2}}\Delta \varphi$$

wobei $n=n(r)$ die Brechzahl des Mediums und $c$ die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums ist (lineare Medien!). $u=c/n$ ist die Lichtgeschwindigkeit in Medium, sog. Phasengeschwindigkeit. Für $n=const$ ist die spezielle Lsg. eine ebene Welle

$$\varphi (r,t)=\varphi _{0}e^{i\left( \mathbf{kr}-\omega t \right) }$$

mit

$$k=\omega \frac{n}{c}=\frac{\omega }{u}=\frac{2\pi }{\lambda }.$$

Daraus folgen die Ausdrücke für $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$. Die Welle jeder anderen beliebigen Form kann als Superposition ebener Wellen dargestellt werden:

$$\varphi (\mathbf{r},t)=\int f(\mathbf{k}^{\prime })e^{i(\mat... ...e }% \mathbf{r}-\omega (k^{\prime })t)}d\mathbf{k}^{\prime }.$$

Die Brechzahl kann von $\omega$ (oder $\mathbf{k}$) abhängig sein, was die Dispersion verursacht. Die Abhängigkeit $\omega (k)$ wird das Dispersionsgesetz genannt.

Bemerkung: Die komplexe Schreibeweise erleichtet mathematische Handhabung. Tatsächlich sind alle Potenziale und Felder reel, so dass z.B. $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathrm{Re} \left[ \mathbf{E}_{0}(\mathbf{r},t)e^{i\left( \mathbf{kr}-\omega t+\phi \right) }\right]$. Die Energiedichte $I=\epsilon \epsilon_0 E^{2}+\mu \mu_0 B^{2}$ ist in der komplexen Schreibeweise durch $I=\frac{1}{4}\left( \epsilon \epsilon_0 \mathbf{E}^{*}\mathbf{E}+ \mu \mu_0\mathbf{B}^{*}\mathbf{B}\right)$ oder $\frac{1}{4}\epsilon \epsilon_0 \left\vert \mathbf{E}\right\vert ^{2}+\frac{1}{4}\mu \mu_0 \left\vert \mathbf{B}\right\vert ^{2}$ gegeben.