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Jeder physikalisch messbaren Größe wird in der Quantenmechanik ein
Operator gegenübergestellt. Aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation
der Wellenfunktion folgt, dass wenn eine Messgröße nur eine Funktion der
Koordinaten ist, so gilt in einem Zustand mit der WF
Man schreibt normalerweiser
und verwendet dafür die Notation
Bemerkung:
Oft muß man auch die Integrale
, sie sog. Matrizenelemente,
ausrechnen. Die Bezeichnung dafür ist
Das Skalarprodukt ist daher
.
I.A. sind die Messgrößen auch die Funktionen der Impulse: wir nehmen zunächst an, dass die entsprechenden Funktionen in eine Taylor-Reihe entwickelt
werden können. Da wir noch nicht mit dem allgemeinen Formalismus
vertraut sind, sollen wir hier zunächst einen Trick anwenden.
Das Verhalten des Teilchens in einem Potential kann dirch einem Wellenpaket
oder einer stehenden Welle (Zustände des diskreten Spektrums) beschrieben
werden. Statt eines unendlichen System können wir ein sehr großes,
aber endliches System betrachten. Die Eigenschaften des physikalischen
Systems sollen nicht von der Randbedingungen sehr weit von dem Messbereich
abhängen. Daher können wir diese frei wählen. Wir betrachten nun
die periodischen Randbedingungen mit der Periode
(in einem Kasten von
Volumen
):
z.B. für die freie Bewegung bekommt man die laufenden ebenen Wellen
Anhand der Randbedingungen sind nur die diskreten Werte von
erlaubt
wobei
ganzen Zahlen sind: statt des kontinuierlichen
Spektrum haben wir ein diskretes Spektrum bekommen, aber für
wird der Abstand zwischen den Niveaus beliebeg klein.
Wir nehmen an, dass der Grenzübergang
zu korrekten
Eigenschaften des kontinuierlichen Spektrum führen wird. Vorteil des
Einsperren des Systems in einen Kasten ist dass jetzt alle Wellefunktionen
normiert sind! Die normierten ebenen Wellen
bilden einen orthonormiertes System
Jede in dem
-Kasten
definierte Funktion kann als Summe solcher
ebenen Wellen aufgefasst werden (Fourier-Transform!):
![\begin{displaymath}
\psi (\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{k}}a_{\mathbf{k}}\psi _{\mathbf{k}}(
\mathbf{r}).
\end{displaymath}](img1006.png) |
(24) |
Aus den Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation kennt man dass
![\begin{displaymath}
a_{\mathbf{k}}=\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{...
...hbf{r}=\left\langle \psi _{\mathbf{k}}\vert\psi \right\rangle
\end{displaymath}](img1007.png) |
(25) |
(und
.
Durch Einsetzen der Normierungsbedingung für
bekommen wir
(die ebenen Wellen mit unterschiedlichen
sind zueinender
orthogonal!).
Für eine ebene Welle ist der Impuls
eindeutig definiert. Daher gilt für einen Wellenpaket
Unter Benutzung der Gl.(24) erhalten wir
Daher:
Partielle Integration in
und die Annahme von
periodischen Randbedingungen (womit das Oberflächenintegral
verschwindet) ergibt
Dann:
(um zu sehen, dass
ist,
genügt es
nach dem vollständigen
Funktionssystem von
zu entwickeln:
Gl.(24), mit
, Gl.(25)). In gleicher Weise kann man
eine beliebige Potenz des Impulses bestimmen:
Z.B. ist die kinetische Energie
Wenn der Operator
nicht selbstadjungiert ist, ist es möglich einen hermitesch konjungierten Operator
zu
definieren:
(es gilt gleichermassen
). Die hermiteschen Operatoren sind solche, dass
.
- Ein zu dem Produkt zweier Operatoren
konjugierter
Operator ist
. Um das zu sehen
definieren wir
, so dass
- Das Produkt selbstadjungierter Operatoren
and
ist
selbstadjungiert, wenn diese Operatoren miteinander vertauschbar sind,
, da für jedes
gelten muß:
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Prof. Igor Sokolov
2005-02-14