Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten und Impulse

Jeder physikalisch messbaren Größe wird in der Quantenmechanik ein Operator gegenübergestellt. Aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion folgt, dass wenn eine Messgröße nur eine Funktion der Koordinaten ist, so gilt in einem Zustand mit der WF $\psi (x)$

$$\left\langle F(x)\right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }F(x)\psi ^{*}(x)\psi (x)dx.$$

Man schreibt normalerweiser $\left\langle F(x)\right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)F(x)\psi (x)dx$ und verwendet dafür die Notation

$$\left\langle F(x)\right\rangle =\left\langle \psi \vert F\vert\psi \right\rangle .$$

Bemerkung:
Oft muß man auch die Integrale $\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)F(x)\psi _{2}(x)dx$, sie sog. Matrizenelemente, ausrechnen. Die Bezeichnung dafür ist

$$\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)F(x)\psi _{2}(x)dx=... ...le =\left\langle \psi _{1}\vert F\vert\psi _{2}\right\rangle .$$

Das Skalarprodukt ist daher $\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle =\left\langle \psi _{1}\vert\hat{1}\vert\psi _{2}\right\rangle$.

I.A. sind die Messgrößen auch die Funktionen der Impulse: wir nehmen zunächst an, dass die entsprechenden Funktionen in eine Taylor-Reihe entwickelt werden können. Da wir noch nicht mit dem allgemeinen Formalismus vertraut sind, sollen wir hier zunächst einen Trick anwenden.

Das Verhalten des Teilchens in einem Potential kann dirch einem Wellenpaket oder einer stehenden Welle (Zustände des diskreten Spektrums) beschrieben werden. Statt eines unendlichen System können wir ein sehr großes, aber endliches System betrachten. Die Eigenschaften des physikalischen Systems sollen nicht von der Randbedingungen sehr weit von dem Messbereich abhängen. Daher können wir diese frei wählen. Wir betrachten nun die periodischen Randbedingungen mit der Periode $L$ (in einem Kasten von Volumen $\Omega$):

$$\psi (x,y,z)=\psi (x+L,y,z)=\psi (x,y+L,z)=\psi (x,y,z+L).$$

z.B. für die freie Bewegung bekommt man die laufenden ebenen Wellen

$$\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=L^{-3/2}\exp (i\mathbf{kr}).$$

Anhand der Randbedingungen sind nur die diskreten Werte von $\mathbf{k}$ erlaubt

$$\mathbf{k}=\frac{2\pi }{L}(n_{x},n_{y},n_{z})$$

wobei $n_{x},n_{y},n_{z}$ ganzen Zahlen sind: statt des kontinuierlichen Spektrum haben wir ein diskretes Spektrum bekommen, aber für $L\rightarrow \infty$ wird der Abstand zwischen den Niveaus beliebeg klein. Wir nehmen an, dass der Grenzübergang $L\rightarrow \infty$ zu korrekten Eigenschaften des kontinuierlichen Spektrum führen wird. Vorteil des Einsperren des Systems in einen Kasten ist dass jetzt alle Wellefunktionen normiert sind! Die normierten ebenen Wellen $\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ bilden einen orthonormiertes System

$$\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\psi _{\mathbf{k... ...}\delta _{n_{y}n_{y}^{\prime }}\delta _{n_{z}n_{z}^{\prime }}.$$

Jede in dem $L$-Kasten $\Omega$ definierte Funktion kann als Summe solcher ebenen Wellen aufgefasst werden (Fourier-Transform!):

$$\psi (\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{k}}a_{\mathbf{k}}\psi _{\mathbf{k}}( \mathbf{r}).$$ (24)

Aus den Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation kennt man dass

$$a_{\mathbf{k}}=\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{... ...hbf{r}=\left\langle \psi _{\mathbf{k}}\vert\psi \right\rangle$$ (25)

(und $a_{\mathbf{k}}^{*}=\int_{\Omega }\psi ^{*}(\mathbf{r})\psi _ {\mathbf{k}}(\mathbf{r})d\mathbf{r}=\left\langle \psi \vert\psi _{\mathbf{k}}\right\rangle)$. Durch Einsetzen der Normierungsbedingung für $\psi (\mathbf{r})$ bekommen wir

$$1=\left\langle \psi (\mathbf{r})\vert\psi (\mathbf{r})\right... ...e =\sum_ {\mathbf{k}}\left\vert a_{\mathbf{k}}\right\vert ^{2}$$

(die ebenen Wellen mit unterschiedlichen $\mathbf{k}$ sind zueinender orthogonal!).

Für eine ebene Welle ist der Impuls $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ eindeutig definiert. Daher gilt für einen Wellenpaket

$$\left\langle \mathbf{p}\right\rangle =\hbar \sum_{\mathbf{k}}a_ {\mathbf{k}}^{*}\mathbf{k}a_{\mathbf{k}}.$$

Unter Benutzung der Gl.(24) erhalten wir

$$\mathbf{k}a_{\mathbf{k}}=-i\nabla \psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})a_ {\mathbf{k}}.$$

Daher:

$$\left\langle \mathbf{p}\right\rangle =-i\hbar \sum_{\mathbf{... ...thbf{k}}^{*} (\mathbf{r})\right] \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r.}$$

Partielle Integration in $\int_{\Omega }\left[ \nabla \psi _{\mathbf{k}}^{*} (\mathbf{r})\right] \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r}$ und die Annahme von periodischen Randbedingungen (womit das Oberflächenintegral verschwindet) ergibt

$$\int_{\Omega }\left[ \nabla \psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{r... ...athbf{k}}^{*}(\mathbf{r}) \nabla \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r.}$$

Dann:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle \mathbf{p}\right\rangle &=&-i\hbar \sum_{\mathbf{... ...}\left\langle \psi \vert\mathbf{\hat{p}}\vert\psi \right\rangle \end{eqnarray*}$$

(um zu sehen, dass

$$\sum_{\mathbf{k}}\psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{r})\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}^{\prime })= \delta (\mathbf{r-r}^{\prime })$$

ist, genügt es $\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })$ nach dem vollständigen Funktionssystem von $\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ zu entwickeln:

$$\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })=\sum_{\mathbf{k}}b_{\mathbf{k}} (\mathbf{r}^{\prime })\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r}),$$

Gl.(24), mit $b_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}^{\prime })=\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}^{*} (\mat... ...\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })d\mathbf{r}=\psi _{% \mathbf{k}}^{*}(\mathbf{r})$, Gl.(25)). In gleicher Weise kann man eine beliebige Potenz des Impulses bestimmen:

$$\left\langle \mathbf{p}^{n}\right\rangle =\int_{\Omega }\psi... ...angle \psi \vert \mathbf{\hat{p}}^{n}\vert\psi \right\rangle .$$

Z.B. ist die kinetische Energie

$$T=\left\langle \frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}\right\rangle =\int_... ...c{-\hbar ^{2}\Delta }{2m}\right) \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r.}$$

• Die Operatoren der messbaren Größen sind in der QM (anhand des Superpositionsprinzip) die linearen Operatoren. Wenn eine Funktion $F(q,p)$ eine reelle physikalische Größe darstellt, ist sie eine reelle Funktion von $p$ und $q$, ihr Mittelwert muß auch reell sein, d.h. $\left\langle F\right\rangle =\left\langle F\right\rangle ^{*}$, d.h. $\hat{F}$
  
  $$\left\langle \Psi \vert\hat{F}\Psi \right\rangle =\left\langle \hat{F}\Psi \vert\Psi \right\rangle ^{*},$$
  
  
  für alle möglichen Wellenfunktionen $\Psi$, worauf der Operator $\hat{F}$ definiert ist. Solche Operatoren nennt man die selbstadjüngierten oder Hermite'schen Operatoren. Die Operatoren $\hat{x}$ und $\hat{p}$ sind jeweils selbstadjungiert. Der korrekte Hamilton-Operator $\hat{H}$ (dessen Mittelwert die Energie des Systems $E$ ist) muß auch selbsadjungiert sein. Dafür mußman der aus dem Korrespondenzprinzip bestimmte Ausdruck symmetrisieren.

• Wenn ein Operator $\hat{F}$ hermitesch ist, muss der Mittelwert von $% \hat{F}$ auch für die lineare Kombination von 2 Wellefunktionen aus dem Definitionsbereich von $\hat{F}$ reell sein: nehmen wir an, $\Psi =\Phi _{1}+\lambda \Phi _{2}$.
  $$\begin{eqnarray*} &&\left\langle \Phi _{1}+\lambda \Phi _{2}\vert\hat{F}(\Phi _{... ...t ^{2}\left\langle \Phi _{2}\vert\hat{F}\Phi _{2}\right\rangle . \end{eqnarray*}$$
  
  
  Der erste und der vierte Summand sind immer reell; die Summe vom zweiten und dritten muss auch rell sein. Das ist nur dann möglich wenn $\left\langle \Phi _{2}\vert\hat{F}\Phi _{1}\right\rangle =\left\langle \Phi _{1}\vert\hat{F}\Phi _{2}\right\rangle$. Diese Beziehung wird oft als Definition eines hermiteschen Operators benutzt.

Wenn der Operator $\hat{F}$ nicht selbstadjungiert ist, ist es möglich einen hermitesch konjungierten Operator $\hat{F}^{*}$ zu definieren:

$$\left\langle \Phi _{2}\vert\hat{F}\Phi _{1}\right\rangle =\left\langle \Phi _{1}\vert% \hat{F}^{*}\Phi _{2}\right\rangle .$$

(es gilt gleichermassen $\left\langle \hat{F}\Phi _{2}\vert\Phi _{1}\right\rangle =\left\langle \hat{F}^{*}\Phi _{1}\vert\Phi _{2}\right\rangle$). Die hermiteschen Operatoren sind solche, dass $\hat{F}=\hat{F}^{*}$.

• Ein zu dem Produkt zweier Operatoren $\hat{F}=\hat{A}\hat{B}$ konjugierter Operator ist $\hat{F}^{*}=\hat{B}^{*}\hat{A}^{*}$. Um das zu sehen definieren wir $\Phi _{3}=\hat{B}\Phi _{1}$, so dass
  $$\begin{eqnarray*} \left\langle \Phi _{2}\vert\hat{A}\hat{B}\Phi _{1}\right\rangl... ...ngle \Phi _{1}\vert\hat{B}^{*}\hat{A}^{*}\Phi _{2}\right\rangle \end{eqnarray*}$$
  
  

• Das Produkt selbstadjungierter Operatoren $\hat{A}$ and $\hat{B}$ ist selbstadjungiert, wenn diese Operatoren miteinander vertauschbar sind, $\left[ \hat{A},\hat{B}\right] =0$, da für jedes $\Phi$ gelten muß:
  
  $$\left\langle \Phi \vert\hat{A}\hat{B}\Phi \right\rangle =\le... ...{A} \hat{B}-\hat{B}^{*}\hat{A}^{*}\right) \Phi \right\rangle .$$