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Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten und Impulse

Jeder physikalisch messbaren Größe wird in der Quantenmechanik ein Operator gegenübergestellt. Aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion folgt, dass wenn eine Messgröße nur eine Funktion der Koordinaten ist, so gilt in einem Zustand mit der WF $\psi (x)$

\begin{displaymath}
\left\langle F(x)\right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }F(x)\psi
^{*}(x)\psi (x)dx.
\end{displaymath}

Man schreibt normalerweiser $\left\langle F(x)\right\rangle =\int_{-\infty
}^{\infty }\psi ^{*}(x)F(x)\psi (x)dx$ und verwendet dafür die Notation

\begin{displaymath}
\left\langle F(x)\right\rangle =\left\langle \psi \vert F\vert\psi \right\rangle .
\end{displaymath}

Bemerkung:
Oft muß man auch die Integrale $\int_{-\infty }^{\infty }\psi
_{1}^{*}(x)F(x)\psi _{2}(x)dx$, sie sog. Matrizenelemente, ausrechnen. Die Bezeichnung dafür ist

\begin{displaymath}
\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)F(x)\psi _{2}(x)dx=...
...le =\left\langle \psi _{1}\vert F\vert\psi
_{2}\right\rangle .
\end{displaymath}

Das Skalarprodukt ist daher $\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle
=\left\langle \psi _{1}\vert\hat{1}\vert\psi _{2}\right\rangle $.

I.A. sind die Messgrößen auch die Funktionen der Impulse: wir nehmen zunächst an, dass die entsprechenden Funktionen in eine Taylor-Reihe entwickelt werden können. Da wir noch nicht mit dem allgemeinen Formalismus vertraut sind, sollen wir hier zunächst einen Trick anwenden.

Das Verhalten des Teilchens in einem Potential kann dirch einem Wellenpaket oder einer stehenden Welle (Zustände des diskreten Spektrums) beschrieben werden. Statt eines unendlichen System können wir ein sehr großes, aber endliches System betrachten. Die Eigenschaften des physikalischen Systems sollen nicht von der Randbedingungen sehr weit von dem Messbereich abhängen. Daher können wir diese frei wählen. Wir betrachten nun die periodischen Randbedingungen mit der Periode $L$ (in einem Kasten von Volumen $\Omega $):

\begin{displaymath}
\psi (x,y,z)=\psi (x+L,y,z)=\psi (x,y+L,z)=\psi (x,y,z+L).
\end{displaymath}

z.B. für die freie Bewegung bekommt man die laufenden ebenen Wellen

\begin{displaymath}
\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=L^{-3/2}\exp (i\mathbf{kr}).
\end{displaymath}

Anhand der Randbedingungen sind nur die diskreten Werte von $\mathbf{k}$ erlaubt

\begin{displaymath}
\mathbf{k}=\frac{2\pi }{L}(n_{x},n_{y},n_{z})
\end{displaymath}

wobei $n_{x},n_{y},n_{z}$ ganzen Zahlen sind: statt des kontinuierlichen Spektrum haben wir ein diskretes Spektrum bekommen, aber für $L\rightarrow \infty $ wird der Abstand zwischen den Niveaus beliebeg klein. Wir nehmen an, dass der Grenzübergang $L\rightarrow \infty $ zu korrekten Eigenschaften des kontinuierlichen Spektrum führen wird. Vorteil des Einsperren des Systems in einen Kasten ist dass jetzt alle Wellefunktionen normiert sind! Die normierten ebenen Wellen $\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ bilden einen orthonormiertes System

\begin{displaymath}
\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\psi _{\mathbf{k...
...}\delta
_{n_{y}n_{y}^{\prime }}\delta _{n_{z}n_{z}^{\prime }}.
\end{displaymath}

Jede in dem $L$-Kasten $\Omega $ definierte Funktion kann als Summe solcher ebenen Wellen aufgefasst werden (Fourier-Transform!):
\begin{displaymath}
\psi (\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{k}}a_{\mathbf{k}}\psi _{\mathbf{k}}(
\mathbf{r}).
\end{displaymath} (24)

Aus den Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation kennt man dass
\begin{displaymath}
a_{\mathbf{k}}=\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{...
...hbf{r}=\left\langle \psi _{\mathbf{k}}\vert\psi \right\rangle
\end{displaymath} (25)

(und $a_{\mathbf{k}}^{*}=\int_{\Omega }\psi ^{*}(\mathbf{r})\psi _
{\mathbf{k}}(\mathbf{r})d\mathbf{r}=\left\langle \psi \vert\psi _{\mathbf{k}}\right\rangle)$. Durch Einsetzen der Normierungsbedingung für $\psi (\mathbf{r})$ bekommen wir

\begin{displaymath}
1=\left\langle \psi (\mathbf{r})\vert\psi (\mathbf{r})\right...
...e =\sum_
{\mathbf{k}}\left\vert a_{\mathbf{k}}\right\vert ^{2}
\end{displaymath}

(die ebenen Wellen mit unterschiedlichen $\mathbf{k}$ sind zueinender orthogonal!).

Für eine ebene Welle ist der Impuls $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ eindeutig definiert. Daher gilt für einen Wellenpaket

\begin{displaymath}
\left\langle \mathbf{p}\right\rangle =\hbar \sum_{\mathbf{k}}a_
{\mathbf{k}}^{*}\mathbf{k}a_{\mathbf{k}}.
\end{displaymath}

Unter Benutzung der Gl.(24) erhalten wir

\begin{displaymath}
\mathbf{k}a_{\mathbf{k}}=-i\nabla \psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})a_
{\mathbf{k}}.
\end{displaymath}

Daher:

\begin{displaymath}
\left\langle \mathbf{p}\right\rangle =-i\hbar \sum_{\mathbf{...
...thbf{k}}^{*}
(\mathbf{r})\right] \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r.}
\end{displaymath}

Partielle Integration in $\int_{\Omega }\left[ \nabla \psi _{\mathbf{k}}^{*}
(\mathbf{r})\right] \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r}$ und die Annahme von periodischen Randbedingungen (womit das Oberflächenintegral verschwindet) ergibt

\begin{displaymath}
\int_{\Omega }\left[ \nabla \psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{r...
...athbf{k}}^{*}(\mathbf{r})
\nabla \psi (\mathbf{r})d\mathbf{r.}
\end{displaymath}

Dann:

\begin{eqnarray*}
\left\langle \mathbf{p}\right\rangle &=&-i\hbar \sum_{\mathbf{...
...}\left\langle \psi \vert\mathbf{\hat{p}}\vert\psi \right\rangle
\end{eqnarray*}

(um zu sehen, dass

\begin{displaymath}
\sum_{\mathbf{k}}\psi _{\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{r})\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}^{\prime })=
\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })
\end{displaymath}

ist, genügt es $\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })$ nach dem vollständigen Funktionssystem von $\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ zu entwickeln:

\begin{displaymath}
\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })=\sum_{\mathbf{k}}b_{\mathbf{k}}
(\mathbf{r}^{\prime })\psi _{\mathbf{k}}(\mathbf{r}),
\end{displaymath}

Gl.(24), mit $b_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}^{\prime })=\int_{\Omega }\psi _{\mathbf{k}}^{*}
(\mat...
...\delta (\mathbf{r-r}^{\prime })d\mathbf{r}=\psi _{%
\mathbf{k}}^{*}(\mathbf{r})$, Gl.(25)). In gleicher Weise kann man eine beliebige Potenz des Impulses bestimmen:

\begin{displaymath}
\left\langle \mathbf{p}^{n}\right\rangle =\int_{\Omega }\psi...
...angle \psi \vert
\mathbf{\hat{p}}^{n}\vert\psi \right\rangle .
\end{displaymath}

Z.B. ist die kinetische Energie

\begin{displaymath}
T=\left\langle \frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}\right\rangle =\int_...
...c{-\hbar ^{2}\Delta }{2m}\right) \psi
(\mathbf{r})d\mathbf{r.}
\end{displaymath}

Wenn der Operator $\hat{F}$ nicht selbstadjungiert ist, ist es möglich einen hermitesch konjungierten Operator $\hat{F}^{*}$ zu definieren:

\begin{displaymath}
\left\langle \Phi _{2}\vert\hat{F}\Phi _{1}\right\rangle =\left\langle \Phi _{1}\vert%
\hat{F}^{*}\Phi _{2}\right\rangle .
\end{displaymath}

(es gilt gleichermassen $\left\langle \hat{F}\Phi _{2}\vert\Phi
_{1}\right\rangle =\left\langle \hat{F}^{*}\Phi _{1}\vert\Phi _{2}\right\rangle $). Die hermiteschen Operatoren sind solche, dass $\hat{F}=\hat{F}^{*}$.


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Prof. Igor Sokolov 2005-02-14