Die Fluktuationen. Eigenfunktionen und Eigenwerte von Operatoren

Man kann die mittlere quadratische Abweichung der Messbaren (Messgrößen) $F$ von ihrem Mittelwert $\left\langle F\right\rangle$ in einem durch eine Wellenfunktion $\Psi$ definierten Zustand bestimmen. Die Abweichung ist $\Delta F=F-\left\langle F\right\rangle$, der zugehörige hermiteschen Operator ist

$$\Delta \widehat{F}=\hat{F}-\left\langle F\right\rangle .$$

Der Operator $\left( \Delta \widehat{F}\right) ^{2}$ ist auch hermitesch, und

$$\left\langle \left( \Delta \widehat{F}\right) ^{2}\right\ran... ...lta \widehat{F}\Psi \vert\Delta \widehat{F}\Psi \right\rangle$$

und wird durch das Integral

$$\left\langle \left( \Delta \widehat{F}\right) ^{2}\right\ran... ...t \left\vert \Delta \widehat{F}\Psi \right\vert ^{2}d\omega .$$ (26)

Wir interessieren uns für die Situationen, wenn der Wert von $F$ scharf definiert wird, d.h. $\left\langle \left( \Delta \widehat{F}\right) ^{2}\right\rangle =0$. Da der Integrand in Gl.(26) eine nicht-negativ definierte Größe ist, kann dieser nur dann verschwinden, wenn $\Delta \widehat{F}\Psi =0$, d.h.

$$\hat{F}\Psi =F\Psi .$$

Die besonderen Werte der Parameter $F=\left\langle F\right\rangle$ sind die Eigenwerte des Operators $\hat{F}$, die entsprechenden Funktionen $\Psi$ sind seine Eigenfunktionen. Z.B. die Energien der diskreten Atomzustände sind die Eigenwerte des Hamiltonians. Die Gesamtheit der Eigenwerte stellt das Spektrum des Operators dar. Man unterscheidet zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen Spektrum.