Der Raum der Wellenfunktionen

Die WF in Koordinatendarstellung gehören einem Funktionalen Raum der Funktionen, die normierbar sind (wenigstens, wenn es um die gebundenen Zustände geht):

$$\int \left\vert \psi (q_{1},...,q_{N})\right\vert ^{2}d^{N}q<\infty .$$ (34)

(die genaue Normierung auf 1 kann dann nachträglich erfolgen). Solch eine Annahme beschränkt unsere Betrachtung zunächst auf die Zustände des kontinuierlichen Spektrums. In kurvelinearen Koordinaten soll man in Gl. (33) und (34) für $A$ und $P$ den Gewichtsfaktor für das Volumenelement $w(q_{1},...,q_{n})$ nicht vergessen. Im Folgenden betrachten wir alles in 1D-Notation.

• Aus unseren Beispielen wissen wir, dass die Eigenfunktionen des diskreten Spektrums, die den Zustaänden mit unterschiedlichen Quantenzahlen entsprechen, stets zueinander orthogonal sind. Noch mehr: Sie bilden ein vollständiges System der Funktionen, über welchen eine beliebige Funktion, die die gleichen Randbedingungen erfüllt, entwickelt werden kann. Z.B. für Rechteckmulde mit unendlich höhen Wänden bei $x=0$ und $x=L$ sind es die Funktionen $\psi (x)$, die bei $x=0$ und $x=L$ verschwinden. Diese können in eine Fourier-Reihe entwickelt werden: $\psi (x)=\sum_{n}\tilde{a}_{n}\sin (\pi nx/L)$. Da $\sin (\pi nx/L)$ proportional zu Eigenfunktionen des Hamilton-Operators für das System sind $% \psi _{n}\equiv \left\vert n\right\rangle =(2/L)\sin (\pi nx/L)$, gilt für jedes $\psi$:
  
  $$\psi =\sum_{n}a_{n}\left\vert n\right\rangle .$$
  
  

Das Gleiche gilt für alle anderen Hamilton-Operatoren, die Hermite'sche Differentialoperatoren 2. Ordnung sind. Anhand der STURM-LIOUVILLE Theorie für die Ls'gen der ODE 2. Ordnung (d.h. zeitunabhängigen Schrödinger-Gl.) besitzen solche Operatoren folgenden drei Eigenschaften

• Ihre Eigenwerte sind reell

• Ihre Eigenfunktionen $\psi _{n}$ sind auf dem Definitionsinterval $% [a,b]$ orthogonal

• Ihre Eigenfunktionen bilden einen vollständigen Satz, d.h. jede ''nichtpathologische'' (d.h. wenigstens stückweise stetige) Funktion $\psi (x)$ kann durch eine Reihe
  
  $$\psi (x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}\psi _{n}(x)$$
  
  
  approximiert werden. Bemerkung: Wenn die Gesamtzahl der Eigenfkt. endlich ist, so ist die Summe über die Gesamtzahl der linear unabhängigen Eigenfkt. zu nehmen.

Technisch ist der Satz vollständig, wenn der Grenzwert des mittleren quadratischen Fehlers

$$\lim_{m\rightarrow 0}\int_{a}^{b}\left[ \psi (x)-\sum_{n=0}^{m}a_{n}\psi _{n}(x)\right] ^{2}w(x)dx=0$$

($w(x)$ ist die Gewichtsfunktion, z.B. wenn wir die Kugelkoordinaten benutzen). Technisch gesehen soll das Integral als Lesbegue-Integral verstanden werden. Beweis ist technisch, siehe R. Courant und D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics (viele Ausgaben in Deutsch und Englisch!) Kap. 6.

Die Koeffizienten $a_{m}$ sind durch

$$a_{m}=\int_{a}^{b}\psi (x)\psi _{m}(x)w(x)dx$$

gegeben (folgt aus der Orthogonalität und Normierung).

Aus der Normierung von $\psi (x)$ folgt

$$1=\int_{a}^{b}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}w(x)dx=\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{2},$$

die Parceval-Identität.

Die Tatsache, dass die Eigenfunktionen ein vollständiges orthonormales System (VONS) der Fkt. bilden hat vielerlei Bedeutung, z.B. für das