Wellenpakete. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.

Die typische Situation entspricht einem Wellenpaket einer endllichen räumlichen / zeitlichen Ausdehnung.

Wir betrachten jetzt eine eindimensionale Situation. Nehmen wir an, die Fkt. $f(k)$ ist groß im $k$-Bereich von der Breite $\Delta k$ um irgendeinen Wert $k$. Die Abschätzung des Integrals mit der Methode der stat. Phase ergibt, dass der maximale Beitrag von der Welle mit der konstanten Phase $\phi =k^{\prime }x-\omega ^{\prime }t$ kommt, wenn es nicht mehr als 1 Oszillation in dem Bereich $\Delta k$ gibt (wenn es in diesem Bereich viele Oszillationen der Exponentiafkt. gibt, kompensieren Sie einender, und der Beitrag solcher Schwingungen ist klein). D.h. $\Delta k\left\vert d\phi /dk\right\vert \lesssim 1$.

Da

$$\frac{d\phi }{dk}=x-t\frac{d\omega }{dk},$$

ist die Welle lokalisiert im räumlichen Bereich mit der Abmessung

$$\Delta x\simeq (\Delta k)^{-1}$$

um die Mitte des Wellenpakets, das sich anhand der Gl.

$$x=t\frac{d\omega }{dk}$$

bewegt. Das definitert die Gruppengeschwindigket

$$v_{g}=\frac{d\omega }{dk}.$$

Beispiel: Ein Gausspaket. $f(k^{\prime })=\frac{A}{\sqrt{2\pi }\Delta k}\exp \left[ -(k^{\prime }-k)^{2}/2(\Delta k)^{2}\right]$. In diesem Fall ist das entsprechende Integral analytisch zu bestimmen:

a) ohne Dispersion ($u=const$)

$$\begin{eqnarray*} \Psi (x,t) &=&\int f(k^{\prime })e^{ik^{\prime }(x-ut)}dk^{\pr... ... &=&Ae^{ik(x-ut)}\exp \left[ -(\Delta k)^{2}(x-ut)^{2}\right] . \end{eqnarray*}$$

Das Quadrat der Amplitude (''Intensität'')

$$\left\vert \Psi (x,t)\right\vert^2 =A^2 \exp \left[ -2(\Delta k)^{2}(x-ut)^{2}\right]$$

beschreibt eine Umschlagsfunktion des Wellenpakets von räumlichen Ausdehnung $\Delta x\simeq 1/\Delta k$, deren Mitte sich mit der geschwindigkeit $u$ bewegt.

b) mit Dispersion: $\omega =\omega (k)$.

$$\begin{eqnarray*} \Psi (x,t) &=&\int f(k^{\prime })e^{i(k^{\prime }x-\omega (k^{... ...2}}\right] e^{ik^{\prime }(x-\omega (k^{\prime })t)}dk^{\prime } \end{eqnarray*}$$

mit $\omega (k^{\prime })=\omega (k)+(d\omega /dk)(k^{\prime }-k)+...=\omega (k)+v_{g}(k^{\prime }-k)+...$. Variablenwechsel: $\kappa =k^{\prime }-k$. Dann erhalten wir

$$\begin{eqnarray*} \Psi (x,t) &=&\frac{A}{\sqrt{2\pi }\Delta k}\int \exp \left[ ... ... Ae^{ik(x-ut)}\exp \left[ -(\Delta k)^{2}(x-v_{g}t)^{2}\right] . \end{eqnarray*}$$

und

$$\left\vert \Psi (x,t)\right\vert^2 =A^2 \exp \left[ -2(\Delta k)^{2}(x-v_g t)^{2}\right].$$

Die entsprechnde Amplitude (Umschlagsfunktion) beschreibt einen Wellenzug von räumlicher Ausdehnung $\Delta x\simeq 1/\Delta k$, deren Mitte sich mit der Geschwindigkeit $v_{g}$ bewegt (Gruppengeschwindigkeit). Die endliche Kohärenzlänge bewirkt z.B. die Abschwächung der Nebenmaxima bei einer Beugung am Diffraktionsgitter.

2. Woche