Angeregte Zustände

Bezeichnen wir die Wellenfunktion des Grundzustands durch $\psi _{0}$. Es gilt dann

$$E_{1}=\min \left\langle \psi _{1}\left\vert \hat{H}\right\vert \psi _{1}\right\rangle$$

mit

$$\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{1}\right\rangle =1,\qquad \left\langle \psi _{1}\vert\psi _{0}\right\rangle =0.$$

(Beweis genau wie bei dem Grundzustand, unter Berücksichtigung der Orthogonalität). Gleichermassen kann man die Variationsprinzipien für die höheren Zustände formulieren, indem man die WFen annimmt, die zu den WFen aller darunterliegenden Zustände orthogonal sind. Das ist bedeutend komplizierter als das Variationsverfahren für den Grundzustand. In einigen Fällen sind die Orthogonalitätsbedingungen bei geeigneter Wahl der Testfunktionen anhand der Symmetrieeigenschaften erfüllt.

Beispiel: 1. angeregte Zustand für den harmonische Oscillator. Anhand der Symmetrie des Potentials ist die WF des Grundzustandes eine gerade Funktion von $\xi$. Die Funktion des 1 angeregten Zustandes ist dann ungerade, und deswegen der WF des Grundzustandes automatisch orthogonal. Anhand des Knotensatzes hat diese Funktion einen Knoten. Einfachste Form:

$$\psi _{1}(\xi ,\beta )=\frac{2\beta ^{3/2}}{\sqrt{\pi }}\xi \exp \left( -% \frac{\beta \xi ^{2}}{2}\right) .$$

Man bekommt

$$I_{1}(\beta )=\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{1}(\xi ,\beta ... ...t] d\xi =\frac{3}{4}\left( \beta +\frac{1}{\beta }% \right) .$$

Das Minimieren ergibt $E_{1}=3/2$ (in Einheiten von $\hbar \omega$).