Der Begriff des Hilbert-Raums

Axiomen:

1. $\mathcal{H}$ ist ein komplexer, linearer Vektorraum.

• Er ist bezüglich zwei Verknüpfungen, der Addition und Multiplikation mit einer Zahl, abgeschlossen:
  • Wenn $\left\vert a\right\rangle \in \mathcal{H}$ und $\left\vert b\right\rangle \in \mathcal{H}$, dann $\left\vert a\right\rangle +\left\vert b\right\rangle =\left\vert a+b\right\rangle \in \mathcal{H}$.

  • Für $c\in \mathcal{C}$, $c\left\vert a\right\rangle =\left\vert a\right\rangle c=\left\vert ca\right\rangle \in \mathcal{H}$.

• Diese Operationen besitzen die üblichen Eigenschaften der
  • Assoziativität und Kommutativität bzgl. Addition

  • Existenz des Nullelements $\left\vert 0\right\rangle$ (bzgl. der Addition)

  • Existenz des inversen Elements bzgl. Addition

  • Distributivität bzgl. Multiplikation.

Die Elemente $\left\vert \psi _{1}\right\rangle ,\left\vert \psi _{2}\right\rangle ,...,\left\vert \psi _{n}\right\rangle$ heißen linear unabhängig falls die Reaktion

$$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\left\vert \psi _{i}\right\rangle =\left\vert 0\right\rangle$$

nur durch $c_{1}=c_{2}=...=c_{n}=0$ erfüllbar ist. Als Dimension von $% \mathcal{H}$ bezeichnet man die Maximalzahl linear-unabhängiger Elemente in $\mathcal{H}$. Wenn es unendlich viele linear-unabhängige Elementen gibt ist der Raum unendlich-dimensional.

Bemerkung: Vorläufig setzen wir die Wellenfunktion $\psi _{n}$ und den Zustandsvektor $\left\vert \psi _{n}\right\rangle$ gleich.

2. $\mathcal{H}$ ist ein unitärer Raum, d.h.

• Es wird ein Skalarprodukt zw. zwei Vektoren $\left\vert \alpha \right\rangle$ und $\left\vert \beta \right\rangle$ definiert als eine komplexen Zahl
  
  $$\left\langle \alpha \vert\beta \right\rangle .$$
  
  
  In Koordinatendarstellung
  
  $$\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle =\int \psi _{1}^{*}(q_{1},...,q_{2})\psi _{2}(q_{1},...,q_{2})d^{N}q.$$
  
  
  • Eigenschaften:
    • ''Antilinearität'' $\left\langle \alpha \vert\beta \right\rangle =\left\langle \alpha \vert\beta \right\rangle ^{*}$

    • $\left\langle \alpha \vert\beta _{1}+\beta _{2}\right\rangle =\left\langle \alpha \vert\beta _{1}\right\rangle +\left\langle \alpha \vert\beta _{2}\right\rangle$

    • $\left\langle \alpha \vert c\beta \right\rangle =c\left\langle \alpha \vert\beta \right\rangle =\left\langle c^{*}\alpha \vert\beta \right\rangle ,$ $% c\in \mathcal{C}$.

    • $\left\langle \alpha \vert\alpha \right\rangle \geq 0$ und $\left\langle \alpha \vert\alpha \right\rangle =0$ nur wenn $\left\vert \alpha \right\rangle =0$.

• $\left\vert \alpha \right\rangle$ und $\left\vert \beta \right\rangle$ heißen orthogonal falls $\left\langle \alpha \vert\beta \right\rangle =0$.

• Norm von Vektor $\left\vert \alpha \right\rangle$: $\left\Vert \alpha \right\Vert =\sqrt{\left\langle \alpha \vert\alpha \right\rangle }.$

• Schwarz'sche Ungleichung $\left\vert \left\langle \alpha \vert\beta \right\rangle \right\vert \leq \left\Vert \alpha \right\Vert \left\Vert \beta \right\Vert$

• Dreiecksungleichung $\left\vert \left\Vert \alpha \right\Vert -\left\Vert \beta \right\Vert \right\v... ... \right\Vert \leq \left\Vert \alpha \right\Vert +\left\Vert \beta \right\Vert .$

Diese Eigenschaften definieren einen komplexen linearen Vektorraum. Der Hilbert-Raum besitzt zusätzliche Eigenschaften.

Folgen in $\mathcal{H}$.

Die Folge $\left\{ \left\vert \alpha _{n}\right\rangle \right\}$ konvergiert stark gegen $\left\vert \alpha \right\rangle$ falls $\lim_{n\rightarrow \infty }\left\Vert \alpha _{n}-\alpha \right\Vert =0$.

Eine Folge $\left\{ \left\vert \alpha _{n}\right\rangle \right\}$ heißt Cauchy-Folge, falls es zu jedem $\varepsilon >0$ eine ganze Zahl $% N(\varepsilon )$ gibt, so dass $\left\Vert \alpha _{n}-\alpha _{m}\right\Vert <\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon )$. Jede stark konvergierende Folge ist auch eine Cauchy-Folge.

3. $\mathcal{H}$ ist separabel: Jede $\left\vert \alpha \right\rangle \in \mathcal{H}$ ist ein Limes einer Cauchy-Folge in $\mathcal{H}$.

4. $\mathcal{H}$ ist vollständig: Jede Cauchy-Folge $\left\vert \alpha _{n}\right\rangle \in \mathcal{H}$ konvergiert gegen $\left\vert \alpha \right\rangle \in \mathcal{H}$.

Aus 3 und 4 folgt die Existenz des vollständigen Orthonormalsystems (VONS) der Basisvektoren $\left\vert \phi _{n}\right\rangle$ aus $\mathcal{H}$: eine Menge M der Vektoren, für die es kein Element aus $\mathcal{H}$ gibt, das nicht zu M gehört, jedoch orthogonal zu allen Elementen aus M ist. Die Vektoren von M sind linear unabhängig.

Unendlich- (abzählbar-) dimensionaler Hilbert Raum $L^{2}$ ($L$ steht für Lesbegue, $^{2}$- für die quadratische Norm) ist der gültige WF-Raum der Quantenmechanik, sieh J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin, 1968.

• Das wichtigste, was daraus folgt, ist die Tatsache, dass für jede beliebige Funktion aus $L^{2}$ eine Entwicklung nach einem VONS der Basisfunktionen $\phi _{n}$ existiert:
  
  $$\psi =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}$$
  
  
  mit
  
  $$a_{n}=\left\langle \phi _{n}\vert\psi \right\rangle =\left\langle \psi \vert\phi _{n}\right\rangle ^{*}.$$
  
  
  Die Wahl von verschiedenen Basisvektoren entspricht den verschiedenen Darstellungen. Die Tatsache, dass die Funktionen aus $L^{2}$ stets eine endliche Norm besitzen, begrenzt zunächst unsere Ausführungen auf die Zuständen des diskteten Spektrums.

• $a_{n}$ genügen den Parceval-Identität
  
  $$\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{2}=\left\langle \psi \vert\psi \right\rangle .$$
  
  

• Wenn
  
  $$\psi =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}$$
  
  
  und
  
  $$\phi =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\phi _{n},$$
  
  
  so
  
  $$\left\langle \phi \vert\psi \right\rangle =\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}^{*}c_{n}.$$
  
  

• Wenn eine Reihe $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}$ gegen einem Zahl $C$ konvergiert, so konvergiert die Funktionsreihe
  
  $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}\phi _{n}=\psi$$
  
  
  gegen eine Funktion $\psi \in L^{2}$ mit einer Norm $C$.