Hermite'sche Operatoren. Fall des diskreten Spektrums.

Wir betrachten einen Hermite'schen Operator $\hat{A}$, der auf die Funktionen aus dem Hilbert-Raum wirkt:

$$\left\langle \psi \vert\hat{A}\phi \right\rangle =\left\lang... ...angle =\left\langle \hat{A}\phi \vert\psi \right\rangle ^{*}.$$

Betrachten wir die Eigenfkt.

$$\hat{A}\psi _{a}=a\psi _{a}$$

mit $\left\langle \psi _{a}\vert\psi _{a}\right\rangle =1$. Daher gilt:

$$a=\left\langle \psi _{a}\vert\hat{A}\psi _{a}\right\rangle .$$

Dieser Wert ist reell nach der Definition des Hermite'schen Operators.

• Die Eigenfunktionen, die zu der unterschiedlichen Eigenwerten gehöhren, sind orthogonal:
  $$\begin{eqnarray*} \hat{A}\psi _{a} &=&a\psi _{a} \\ \hat{A}\psi _{b} &=&b\psi _{b} \end{eqnarray*}$$
  
  
  Bilden wir die Skalarprodukte
  
  $$\left\langle \psi _{b}\vert\hat{A}\psi _{a}\right\rangle =a\left\langle \psi _{b}\vert\psi _{a}\right\rangle$$
  
  
  und
  
  $$\left\langle \hat{A}\psi _{b}\vert\psi _{a}\right\rangle =b\left\langle \psi _{b}\vert\psi _{a}\right\rangle$$
  
  
  so dass $0=\left\langle \psi _{b}\vert\hat{A}\psi _{a}\right\rangle -\left\langle \hat{A... ...\psi _{a}\right\rangle =(a-b)\left\langle \psi _{b}\vert\psi _{a}\right\rangle$. Daraus folgt, dass für $a\neq b$ gilt $\left\langle \psi _{b}\vert\psi _{a}\right\rangle =0$. $\Rightarrow$ Eigenfunktionen, die zu verschiedenenen Eigenwerten gehören, sind linear unabhängig.

• Die Eigenwerte bilden eine diskrete Folge (endlich oder abzählbar).

• Wenn der Eigenwert $a$ $n$-fach entartet ist, kann jede Eigenfunktion als eine lineare Kombination aus $n$ linear-unabhängigen Funktionen $% \psi _{1},...,\psi _{n}$ dargestellt werden. Aus diesen Funktionen kann man immer durch Schmidt-Orthogonalisierung ein orthonormales System $\phi _{1},...,\phi _{n}$ bilden: Man nehme
  
  $$c_{1}\phi _{1}=\psi _{1}$$
  
  
  mit
  
  $$\left\vert c_{1}\right\vert ^{2}=\left\langle \psi _{1}\vert\psi _{1}\right\rangle .$$
  
  
  Die Fkt. $\phi _{2}$ wird gegeben durch
  
  $$c_{2}\phi _{2}=\psi _{2}-\phi _{1}\left\langle \phi _{1}\vert\psi _{2}\right\rangle .$$
  
  
  Da $\psi _{1}$ (und somit $\phi _{1}$) und $\psi _{2}$ linear unabhängig sind, ist $c_{2}\phi _{2}\neq 0$. Normierung: $c_{2}$ ist, bis auf eine Phase, durch $\left\langle \phi _{2}\vert\phi _{2}\right\rangle =1$ gegeben. Weiterhin,
  
  $$c_{3}\phi _{3}=\psi _{3}-\phi _{1}\left\langle \phi _{1}\ver... ... -\phi _{2}\left\langle \phi _{2}\vert\psi _{3}\right\rangle .$$
  
  
  $\phi _{3}\neq 0$ (anhand der linearen Unabhängigkeit) und kann normiert werden, u.s.w. bis $\phi _{n}$. Es gilt: $\left\langle \phi _{n}\vert\phi _{m}\right\rangle =\delta _{n,m}$.

• Auch wenn Entartungsgrad unendlich ist, ist es möglich eine unendliche Folge der orthonormierten Funktionen $\phi _{n}$ zu bilden. Jede Funktion, die zum Eigenwert $a$ gehört, kann durch eine Reihe über diese Funktionen dargestellt werden.