Betrachten wir das Eigenwertproblem
dem diskreten Spektrum mit entweder endlichen oder abzählbaren Menge von Werten
Kontinuierlichem Spektrum , das durch einen kontinuierlichen Index numeriert ist.
Den disktereten Fall haben wir schon diskutiert.
Im kontinuierlichen Fall ist eine Eigenfkt. zum Eigenwert
. Die Norm von dieser Fkt. ist unendlich. Wir nehmen aber an dass das
Eigendifferential
So sind z.B. die Eigenfunktionen der Impulsoperators. Alle für den
Hilbert-Raum kennzeichnenden Eigenschaften gelten dann nicht für die
WF'nen selbst, sondern für die Eigendifferentiale. Das skalare Produkt
von der Funktion selbst ist auf eine -Funktion normiert:
Bemerkung: Wenn Impuls wäre, so entspräche das Eigendifferential einem Wellenpaket mit endlicher Breite im Impulsraum, und ist deswegen von einer endlichen Ausdehnung in Ortsraum. Solches Paket ist normierbar (1 Teilchen). (und entspr. ) muss viel größer sein als alle andere typische Abmessumgen der Problems. Daher entspricht die Betrachtung der Eigendifferentiale der Formalisierung von unserer früheren Wellenpaketvorstellung.
Die EFs des diskreten und kontinuierlichen Spektrums zusammen bilden einen
erweiterten Hilbert-Raum, so dass insgesamt, für jede
Bemerkung: Nicht alle Hermiteschen Operatoren besitzen ein VON-System der Eigenfunktionen. Alle Operatoren, die die physikalische Messbaren darstellen, besitzen solche.