Weitere Bemerkungen:

Die Matrix $\mathbf{S}$ aus der Sek.(9.7) stellt i.A. keinen Operator dar: Jeder Operator ist definiert in einer Darstellung, und $\mathbf{S}$ hängt von 2 Darstellungen ab. Es gibt aber die Situationen wenn $\mathbf{% S}$ ein Operator ist. Es ist der Fall wenn zwischen den Basisvektoren in beiden Darstellungen eine eins-zu-eins Korrespondänz besteht (dann muss auch die Natur der Spektren gleich sein, i.e. beide diskret, mit gleichen Anzahl der Zuständen, oder beiden kontinuierlich u.s.w.). Die korrespondenz zwischen $\left\vert n\right\rangle$ und $\left\vert \nu \right\rangle$ ist durch einen Operator $\hat{U}$ gegeben:

$$\left\vert n\right\rangle =\hat{U}\left\vert \nu \right\rangle .$$

Dann ist

$$\hat{U}=\sum_{n}\left\vert n\right\rangle \left\langle \nu \right\vert$$

und

$$\hat{U}^{+}=\sum_{n}\left\vert \nu \right\rangle \left\langle n\right\vert .$$

Da beide Vektorensysteme $\left\vert n\right\rangle$ und $\left\vert \nu \right\rangle$ orthonormiert sind, so gilt:

$$\hat{U}\hat{U}^{+}=\hat{U}^{+}\hat{U}=\hat{I}.$$

$\hat{U}$ ist ein unitärer Operator. Die Matrix $\mathbf{S}$ mit Elementen $\left\langle \nu \vert n\right\rangle$, ist die Matrix $\mathbf{U}$ in $W$-Darstellung.Die Änderung der Darstellung entspricht in gewissem Sinne der ''Rotation'' des Koordinatensystems der Basisvektoren. Statt das Basissystem anhand $\left\vert \nu \right\rangle =\hat{U}^{+}\left\vert n\right\rangle$ zu transformieren, kann man die Basis gleich lassen und die Vektoren und Operatoren transformieren (''rotieren''):

$$\begin{eqnarray*} \left\vert u\right\rangle &\rightarrow &\left\vert u^{\prime }... ...at{A} &\rightarrow &\hat{A}^{\prime }=\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{+}. \end{eqnarray*}$$

Die Skalarpodukte und die Adjunktionsbeziehungen zwischen Vektoren und Operatoren bleiben bei solchen Transformationen erhalten, da $\left\langle u^{\prime }\vert\hat{A}^{\prime }\vert v^{\prime }\right\rangle =\left\langle u\vert\hat{A}\vert v\right\rangle$. Wenn $A$ eine Messbare ist, so ist $A^{\prime }$ auch eine Messbare mit dem gleichen Eigenwertspektrum. Die Eigenvektoren $\left\vert a^{\prime }\right\rangle$ von $\hat{A}^{\prime }$ sind die transformierten Eigenvektoren $\left\vert a\right\rangle$ von $\hat{A}$. Die Matrix $\mathbf{A}% ^{\prime }$ in $Q$-Darstellung hat die gleiche Gestalt wie die Matrix $% \mathbf{A}$ in $W$-Darstellung. Der Vektor $\left\vert a^{\prime }\right\rangle$ hat in $Q$-Darstellung die gleichen Komponenten, wie der Vektor $\left\vert a^{\prime }\right\rangle$ in $W$-Darstellung.

• Zwei aufeinenderfolgende unitäre Transformationen $U$ und $V$ definieren eine unitäre Transformation $W=VU$.

• Eine infinitesimale Transformation ist durch einen Operator $\hat{U}% _{\varepsilon }=\hat{I}+i\varepsilon \hat{F}$ bestimmt, mit infinitesimal kleinen, reellen $\varepsilon$, so dass die Terme, die in $% \varepsilon$ quadratisch sind, vernachlässigt werden können. Die Forderung, dass dieser Operator unitär ist ergibt:
  
  $$(\hat{I}-i\varepsilon \hat{F}^{+})(\hat{I}+i\varepsilon \hat... ...\varepsilon \hat{F})(\hat{I}-i\varepsilon \hat{F}^{+})=\hat{I}$$
  
  
  ergibt in 1. Ordnung in $\varepsilon$ $\hat{F}=\hat{F}^{+}$, i.e. jeder Hermitesche Operator $\hat{F}$ definiert eine infinitesimale unitäre Transformation $\hat{U}_{\varepsilon }=\hat{I}+i\varepsilon \hat{F}$. Es gilt:
  
  $$\left\vert u^{\prime }\right\rangle =\left\vert u\right\rang... ...ngle =(\hat{I}+i\varepsilon \hat{F})\left\vert u\right\rangle$$
  
  
  und
  
  $$\hat{A}^{\prime }=\hat{A}+\delta \hat{A}=(\hat{I}+i\varepsil... ...F}^{+})=\hat{A}+i\varepsilon \left[ \hat{F},\hat{% A}\right] ,$$
  
  
  so dass
  $$\begin{eqnarray*} \delta \left\vert u\right\rangle &=&i\varepsilon \hat{F}\left\... ...e , \\ \delta A &=&i\varepsilon \left[ \hat{F},\hat{A}\right] . \end{eqnarray*}$$
  
  

• Man kann diese Entwicklung bis zu höheren Glieder fortsetzen und statt infinitesimalen $\varepsilon$ irgendeine Zahl $x$ nehmen:
  
  $$\hat{U}_{x}=\hat{I}+ix\hat{F}-\frac{1}{2}x^{2}\hat{F}^{2}+...\,.$$
  
  
  Die Einwirkung eines solches Operators auf $\left\vert u\right\rangle$ ergibt
  
  $$\left\vert u^{\prime }\right\rangle =\hat{U}_{x}\left\vert u... ...\frac{1}{2}x^{2}\hat{F}% ^{2}\left\vert u\right\rangle +...\,.$$
  
  
  Die Transformation eines Operators wird dann durch
  
  $$\hat{A}^{\prime }=\hat{A}+ix\left[ \hat{F},\hat{A}\right] -\... ...x^{2}\left[ \hat{F},\left[ \hat{F},\hat{A}\right] \right] +...$$
  
  
  gegeben.

Die gleichzeitige Änderung der Zustandsvektoren und der Operatoren führt zur verschiedenen Schreibweisen für einen Zustand zum gegebenen Zeitpunkt. Diese gleichzeitige unitäre Transformation der Wellenfunktion und der Operatoren ändert die Gestalt der Wellenfunktionen, verändert aber den Zustand des Systems nicht.