Darstellungen der Quantenmechanik

Betrachten wir den Hilbert-Raum $H$, und darin ein VONS der Basisvektoren $% \left\vert n\right\rangle$. Wenn $\left\vert n\right\rangle$ Eigenvektoren irgendeiner Observablen $Q$ sind, $\hat{Q}\left\vert n\right\rangle =q_{n}\left\vert n\right\rangle$, sagen wir, dass $\left\vert n\right\rangle$ die Basisvektoren in $Q$-Darstellung sind. Es gilt:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle m\vert n\right\rangle &=&\delta _{mn}, \\ \hat{P... ...n}\left\vert n\right\rangle \left\langle n\right\vert =% \hat{I} \end{eqnarray*}$$

Die Basisvektoren einer Darstellung können über die Basisvektoren einer anderen Darstellung $\left\vert \nu \right\rangle$ (VONS der Eigenfunktionen einer Observablen $W$) entwickelt werden:

$$\begin{eqnarray*} \left\vert n\right\rangle &=&\sum_{\nu }\left\vert \nu \right\... ...\left\vert n\right\rangle \left\langle n\vert\nu \right\rangle . \end{eqnarray*}$$

Die Skalarprodukte, die von den beiden Darstellungen abhängen, können als Elemente einer Matrix aufgefasst werden:

$$\begin{eqnarray*} \left( S\right) _{\nu n} &=&\left\langle \nu \vert n\right\rangle \\ (T)_{n\nu } &=&\left\langle n\vert\nu \right\rangle , \end{eqnarray*}$$

es gilt

$$\mathbf{S=T}^{+}$$

(Die Matrizen $\mathbf{S}$ und $\mathbf{T}$ sind nicht unbedingt quadratisch, da im Prinzip die Anzahl der Basisvektoren in verschiedenen Darstellungen unterschiedlich sein kann, oder einer der Operatoren kann ein kontinuierliches Spektrum haben, wobei der andere ein diskretes Spektrum besitzt). Es gilt:

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{SS}^{+} &=&\mathbf{I,} \\ \mathbf{TT}^{+} &=&\mathbf{S}^{+}\mathbf{S}=\mathbf{I.} \end{eqnarray*}$$

Wenn ein Operator $\hat{A}$ in $Q$-Darstellung durch eine Matrix $\mathbf{A}% _{Q}$ dargestellt wird, so wird er in $W$-Darstellung durch eine Matrix $% \mathbf{A}_{W}$ dargestellt, mit Matrizenelementen

$$\left\langle \nu \vert A\vert\nu ^{\prime }\right\rangle =\s... ...right\rangle \left\langle l\vert\nu ^{\prime }\right\rangle ,$$ (43)

d.h.

$$\mathbf{A}_{W}=\mathbf{SA}_{Q}\mathbf{S}^{+}.$$

Analog, für die rechten Vektoren $\mathbf{u}_{Q}$ und $\mathbf{u}_{W}$ die in beiden Darstellungen das gleichen Ket $\left\vert u\right\rangle$ repräsentieren gilt

$$\mathbf{u}_{W}=\mathbf{Su}_{Q},$$

da $\left\langle \nu \vert u\right\rangle =\sum_{n}\left\langle \nu \vert n\right\rangle \left\langle n\vert u\right\rangle$, für die linke Vektoren $% \mathbf{v}_{Q}$ und $\mathbf{v}_{W}$, die dem Bra $\left\vert v\right\rangle$ entsprechen, gilt

$$\mathbf{v}_{W}=\mathbf{v}_{Q}\mathbf{S}^{+}.$$

Die Lösung des Eigenwertproblems für Operator $\hat{W}$ in $Q$-Darstellung ist äquivalent zu der Suche nach der Transformation $% \mathbf{S}$, die $\mathbf{W}$ diagonalisiert. Umgekehrt, die Lösung der Eigenwertproblem für Operator $\hat{Q}$ in $W$-Darstellung ist äquivalent zu der Suche nach der Transformation $\mathbf{S}^{+}$, die $% \mathbf{Q}$ diagonalisiert.