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Darstellungen der Quantenmechanik
Betrachten wir den Hilbert-Raum
, und darin ein VONS der Basisvektoren
. Wenn
Eigenvektoren
irgendeiner Observablen
sind,
, sagen wir, dass
die Basisvektoren
in
-Darstellung sind. Es gilt:
Die Basisvektoren einer Darstellung können über die Basisvektoren
einer anderen Darstellung
(VONS der
Eigenfunktionen einer Observablen
) entwickelt werden:
Die Skalarprodukte, die von den beiden Darstellungen abhängen,
können als Elemente einer Matrix aufgefasst werden:
es gilt
(Die Matrizen
und
sind nicht unbedingt
quadratisch, da im Prinzip die Anzahl der Basisvektoren in verschiedenen
Darstellungen unterschiedlich sein kann, oder einer der Operatoren kann ein
kontinuierliches Spektrum haben, wobei der andere ein diskretes Spektrum
besitzt). Es gilt:
Wenn ein Operator
in
-Darstellung durch eine Matrix
dargestellt wird, so wird er in
-Darstellung durch eine Matrix
dargestellt, mit Matrizenelementen
![\begin{displaymath}
\left\langle \nu \vert A\vert\nu ^{\prime }\right\rangle =\s...
...right\rangle \left\langle l\vert\nu ^{\prime
}\right\rangle ,
\end{displaymath}](img1670.png) |
(43) |
d.h.
Analog, für die rechten Vektoren
und
die in beiden Darstellungen das gleichen Ket
repräsentieren gilt
da
, für die linke Vektoren
und
, die dem Bra
entsprechen, gilt
Die Lösung des Eigenwertproblems für Operator
in
-Darstellung ist äquivalent zu der Suche nach der Transformation
, die
diagonalisiert. Umgekehrt, die Lösung der
Eigenwertproblem für Operator
in
-Darstellung ist
äquivalent zu der Suche nach der Transformation
, die
diagonalisiert.
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Prof. Igor Sokolov
2005-02-14