Berechnung der Mikrokanonischen Zustandssumme

$\bullet$ Energie fest $E_{i}=E$

$\bullet$ Gesamtzahl der Realisierungen $W=\sum_{i}1$

$\bullet$ Zustandssumme $Z=W\exp \left( -E/kT\right)$

$\bullet$ Entropie $S=k\ln W$

Übergang zur Kontinuum:

Typischerweise betrachtet man die Zustände in einem kleinen Energieintervall $(E,E+\Delta E)$. Die Anzahl dieser Zustände ist

$$d\Gamma (E,N,V)=D(E,N,V)dE$$

wobei $D(E,N,V)$ die Zustandsdichte ist. $\Gamma (E,N,V)$ stellt das Volumen im Phasenraum dar, das allen Zuständen $i$ mit $E_{i}<E$ zu Verfügung steht (Anzahl aller Zustände mit $E_{i}<E$).

Übergang zur Kontinuum, nicht-unterscheidbare Teilchen,

$$W=\sum_{i}1\rightarrow \frac{1}{N!h^{3N}}\frac{1}{\Delta E}... ...(p,q)\leq E+\Delta E}d^{6N}\tau =\frac{D(E,N,V)}{N!h^{3N}% }$$

Speziallfall: ideales Gas, $H=H(p)=\sum_{i=1}^{3N}p_{i}^{2}/2m$.

$$W=\frac{1}{N!h^{3N}}\frac{1}{\Delta E}\int dq_{1}...dq_{3N}... ...Delta E}\int\limits_{E\leq H(p,q)\leq E+\Delta E}d^{3N}p_{i}$$

Sei $\Phi (E)=\Gamma (E)/V^{N}=\int\limits_{0\leq H(p,q)\leq E}d^{3N}p_{i}$, dann ist $\int\limits_{E\leq H(p,q)\leq E+\Delta E}d^{3N}p_{i}=\Phi (E+\Delta E)-\Phi (E)$. Für ein ideales Gas ist $\Phi (E)$ das Volumen einer $3N$-dimensionalen Kugel im Impulsraum mit Radius $P=\sqrt{% p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+...+p_{3N}^{2}}=\sqrt{2mE}$. Der mathematische Ausdruck für das Volumen einer $n$-dimensionalen Kugel ist $V_{n}=\pi ^{n/2}R^{n}/\Gamma (n/2+1)$. Unter Benutzung der Stirling-Formel erhalten wir

$$\ln \Phi (E)\simeq \frac{3N}{2}\ln \left( \frac{4\pi me}{3N}\right) +\frac{3N}{2}\ln E$$

Nochmalige Benutzung der Stirling-Formel ergibt dann

$$W(E,V,N)=\frac{V^{N}}{N!h^{3N}}\frac{d}{dE}\Phi (E)\simeq \... ...ft( \frac{4\pi mE}{3h^{2}N}\right) ^{3/2}e^{5/2}\right] ^{N}.$$

Daraus folgt schließlich:

$$S(E,V,N)=k\ln W=kN\ln \left[ \frac{V}{N}\left( \frac{4\pi mE}{3h^{2}N}% \right) ^{3/2}e^{5/2}\right]$$

(die Sakur-Tetrode-Gleichung).