Kanonische Verteilung aus der Mikrokanonischen Sicht

Wir betrachten 2 Systeme von sehr unterschiedlicher Größe, und mit sehr schwacher Kopplung, das Wärmebad (das viel größere System) und ''das System''. Beide zusammen bilden ein abgeschlossenes System (''Gesamtsystem'') und werden im Rahmen einer mikrokanonischen Gesamtheit beschrieben. Das Systems besitzt diskrete Energieniveaus; die Energieniveaus des Wärmebades bilden praktisch ein kontinuierliches Spektrum. Für das Gesamtsystem

$$E=E_{S}+E_{B}\qquad \mbox{(Extensivit\uml {a}t)}$$

(mit $E_{S}\ll E_{B}$ wegen dem Größenunterschied) und

$$\Gamma (E)=\sum_{E_{1}}\Gamma _{S}(E_{1})\Gamma _{B}(E-E_{1})\qquad \mbox{% (schwache WW)}$$

($S$ -''das System'', $B$-Bad). $E_{1}:=$ Alle mögliche Energien des Systems. Das Fixieren des Zustandes $m$ des Systems entspricht dann für das Gesamtsystem dem Phasenvolumen

$$\Gamma (E_{m},E)=\Gamma _{B}(E-E_{m}).$$

Die Wahrscheinlichkeit der Realisierung eines solchen Zustandes ist dann

$$w(E_{m})=\frac{\Gamma (E_{m},E)}{\Gamma (E)} ,$$

da alle Zustände des Gesamtsystems mit Energie $E$ apriori gleichwahrscheinlich sind. Da

$$\begin{eqnarray*} \ln \Gamma _{B}(E-E_{m}) &\simeq &\ln \Gamma _{B}(E)-E_{m}\fr... ...\partial }{\partial E}S_{B}(E)= \\ &=&const-\frac{E_{m}}{kT}. \end{eqnarray*}$$

$\Rightarrow$

$$w_{m}\sim \exp \left( -\frac{E_{m}}{kT}\right)$$

(kanonische Verteilung).