Die Ideale Bose- und Fermigase

Voraussetzung: nur Translationsfreiheitsgrade, $\epsilon _{i}=\mathbf{p}% ^{2}/2m$. Bezeichnung: $\sigma =\exp (\mu /kT)$ für die Fugazität. Die allgemeinen Beziehungen lauten:

$$\frac{pV}{kT}=-\frac{\Omega }{kT}=\ln Z=\pm \sum_{i}\ln \lef... ...left( \begin{array}{ll} + & FD \\ - & BE \end{array}\right)$$

und

$$N=-\frac{\partial \Omega }{\partial \mu }=\sum_{i}\left( \si... ...left( \begin{array}{ll} + & FD \\ - & BE \end{array}\right)$$

Berücksichtigung des Spins: In Abwesenheit eines Magnetfeldes gibt es für ein Teilchen mit Spin $s$ $Q=(2s+1)$ Einstellungsmöglichkeiten ( $% \epsilon _{i}$ spinunabhängig). Daher: zusätzlicher Vorfaktor Q.

Übergang zum Kontinuum (in 3 Dimensionen) liefert ( $p=\left\vert \mathbf{p}% \right\vert$):

$$\frac{pV}{kT}=\pm Q\frac{4\pi V}{h^{3}}\int_{0}^{\infty }dp\... ...left( \begin{array}{ll} + & FD \\ - & BE \end{array}\right)$$

$$N=Q\frac{4\pi V}{h^{3}}\int_{0}^{\infty }dp\,p^{2}\frac{1}{\... ...left( \begin{array}{ll} + & FD \\ - & BE \end{array}\right)$$

Bemerkung: Wie für ein klassisches Idealgas gilt es für die idealen Fermi- und Bose-Gase mit einem quadratischen Dispersionsgesetz ( $\epsilon _{i}=\mathbf{p}^{2}/2m$)

$$pV=\frac{2}{3}E.$$

(für ein klassisches Gas $pV=NkT$ und $E=\frac{3}{2}kT$).

Da

$$E=\sum_{i}\epsilon _{i}n_{i}=\sum_{i}\frac{\epsilon _{i}}{\s... ...{% p^{2}\cdot (p^{2}/2m)}{\sigma ^{-1}e^{p^{2}/2mkT}\pm 1}dp ,$$

genügt es, durch die partielle Integration zu zeigen, dass

$$\int_{0}^{\infty }{{\underbrace{dp\,p^{2}}_{df}\,}}{% \under... ...\sigma e^{-p^{2}/2mkT}}{\sigma e^{-p^{2}/2mkT}\pm 1}dp}_{dg}}.$$

Damit folgt die Entropie

$$S=\frac{1}{T}\left( pV+E-\mu N\right) =\frac{1}{T}\left( \frac{5}{3}E-\mu N\right) .$$

Um die thermischen Zustandsgleichungen für die entsprechende Gase zu be/-stimmen, d.h. um $p$ als Funktion von $N,V$ und $T$ auszudrucken, muß man die Fugazität aus der Gleichungen für $\Omega$ und $N$ eliminieren.