Starke Entartung ( $\sigma \rightarrow 1$) und die Bose-Einstein Kondensation

Wir wissen bereits, dass für ein System von Bosonen $\mu \leq 1$ und deswegen $\sigma \leq 1$.

$$N=\sum_{i}n_{i}=\sum_{i}\frac{1}{\sigma ^{-1}e^{\epsilon _{i}/kT}-1}.$$

Mit $\epsilon _{0}=0$ divergiert der Summand für $i=0$ wenn $\sigma \rightarrow 1$. Der muß dann bei der Übergang zur Kontinuum getrennt berücksichtigt werden, da es sonst das Gewicht $0$ (wegen $p^{2}=0$) bekommt; mit allen anderen Glieder können wir wie gewohnt umgehen.

$$N=\frac{1}{\sigma ^{-1}-1}+\sum_{i=1}\frac{1}{\sigma ^{-1}e^... ..._{0}^{\infty }dp\,p^{2}\frac{1}{\sigma ^{-1}e^{-p^{2}/2mkT}-1}$$

$\Rightarrow$

$$\frac{N}{V} = \frac{1}{V} \frac{\sigma }{1-\sigma }+\frac{1}{\lambda ^{3}}g_{3/2}(\sigma )$$

Das erste Glied $n_{0}$ ist die mittlere Teilchenzahl im Grundzustand (neues Glied!). Für $\sigma \ll 1$ ist $n_{0}$ vernachlässigbar, divergiert aber wenn $\sigma \rightarrow 1$).

Es gilt:

$$N=\sigma \frac{d}{d\sigma }\left( \frac{pV}{kT}\right)$$

(um das zu sehen merkt man dass $\frac{pV}{kT}=-\frac{\Omega }{kT}% =-\sum_{i}\ln (1-\sigma e^{\epsilon _{i}/kT})$, mit $\sigma =e^{\mu /kT}$ und dass $N=e^{\mu /kT}$). $\Rightarrow$

$$\frac{pV}{kT}=-\ln (1-\sigma )+\frac{V}{\lambda ^{3}}g_{5/2}(\sigma ).$$

Es ist wichtig, dass die Funktionen $g_{5/2}(\sigma )$ und $g_{3/2}(\sigma )$ stetig in 1 sind: $g_{5/2}(1)=2.612...$ und $% g_{3/2}(1)=1.341...$.

Die Funktionen $g_{5/2}(\sigma )$ und $g_{3/2}(\sigma )$ sind monoton wachsend im Intervall $0\leq \sigma \leq 1$. $\Rightarrow$ Maximaler Wert von $% N_{g}=N-n_{0}$ ist $N_{g}^{\max }=\frac{V}{\lambda ^{3}}g_{3/2}(1).$ Bei vorgegebenem Wert von $N/V$ gibt es eine Grenztemperatur

$$T_{c}=\frac{h^{2}}{2\pi mk}\left[ \frac{N}{Vg_{3/2}(1)}\right]$$

so dass für $T>T_{c}$ und für $V\rightarrow \infty$ (bei der konstante Dichte $c=N/V$)

$$\begin{array}{l} N=N_{g}=g_{3/2}(\sigma )V\left( \frac{2\pi mkT}{h^{2}}\right) ^{3/2} \\ n_{0}=0 \end{array}$$

und für $T<T_{c}$

$$\begin{array}{l} N_{g}=g_{3/2}(1)V\left( \frac{2\pi mkT}{h^{... ...ft[ 1-\left( \frac{T}{T_{c}}\right) ^{3/2}\right] . \end{array}$$

Dieser Effekt wird als Bose-Einstein-Kondensation bezeichnet.

Die Energie im Grundzustand ist null, so dass

$$E=\sum_{i}\epsilon _{i}n_{i}=\sum_{i\neq 0}\frac{\epsilon _{i}}{\sigma ^{-1}e^{\epsilon _{i}/kT}-1}$$

was im kontinuierlichen Fall liefert

$$E=\frac{3}{2}\frac{kTV}{\lambda ^{3}}g_{5/2}(\sigma ).$$

$\Rightarrow$

$$E=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\displaysty... ...aystyle \lambda ^{3}}g_{5/2}(1) & T<T_{c} \end{array}\right. .$$

Der Druck lautet

$$p=\frac{2E}{3V}=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \fr... ...aystyle \lambda ^{3}}g_{5/2}(1) & T<T_{c} \end{array}\right. .$$

Damit ist der Druck für $T<T_{c}$ nur noch von der Temperatur und nicht von dem Volumen abhängig: Die Volumenänderung bei konstanter $% T<T_{c}$ ändert nur die Anzahl der Bosonen im Grundzustand (die, mit $p=0$, nicht zum Druck beitragen können). Für $T>T_{c}$ hängt der Druck von $V$ ab, da $\sigma$ implizit von $V$ abhängig ist.

Die Bose-Einstein-Kondensation ist mit einer cusp-artigen Singularität der spezifische Wärme verbunden: Die spezifische Wärme ist kontinuierlich, ihre Ableitung nach $T$ erleidet einen Sprung.

Die spezifische Wärme in der Tieftemperaturphase ($T<T_{c}$) ist:

$$C_{V}=\left( \frac{\partial E}{\partial T}\right) _{V}=\frac... ...frac{15}{4}% \frac{Vk}{\lambda ^{3}}g_{5/2}(1)\propto T^{3/2}.$$

Die Entropie lautet:

$$S=\frac{1}{T}\left( \frac{5}{3}E-\mu N\right) =\left\{ \beg... ...{3}}g_{5/2}(1)=\frac{2}{3}C_{V} & T<T_{c} \end{array}\right. .$$

Für $T\rightarrow 0$ haben wir $S\propto T^{3/2}\rightarrow 0$, was im Einklang mit dem 3. Hauptsatz ist.

Bemerkung: Die Bose-Einstein-Kondensation (BEK) verdünnter Gase (Alkali-Atome) wurde experimentell beobachtet: Nobelpreis 2001 für Eric Cornell, Wolfgang Ketterle und Carl Wiemann (Physics Today 54 (12), Dec. 2001 p.14). Die Suprafluidität des He$^{4}$II ist ein komplexeres Phänomen, da es in einem stark wechselwirkenden System (Flüssigkeit) stattfindet: Der $\lambda$-Übergang findet bei $T=2.18$K statt, ohne Berücksichtigung der WW wäre $T=3.14$K. Die Suprafluidität des He$^{3}$ ist durch einfache BEK unerklärlich.