Das ideale Bose-Gas

Nichtwechselwirkende Bosonen. Wir betrachten den Fall $s=0$. Wie gehabt,

$$\frac{pV}{kT}=-\frac{4\pi V}{h^{3}}\int_{0}^{\infty }dp\,p^{2}\ln \left( 1-\sigma e^{-p^{2}/2mkT}\right)$$

$$N=\frac{4\pi V}{h^{3}}\int_{0}^{\infty }dp\,p^{2}\frac{1}{\sigma ^{-1}e^{-p^{2}/2mkT}-1}$$

Führen wir die zwei Hilfsfunktionen ein:

$$g_{5/2}(\sigma )=-\frac{4}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }dx\... ...ma e^{-x^{2}})=\sum_{j=1}^{\infty }\frac{\sigma ^{j}}{j^{5/2}}$$

und

$$f_{3/2}(\sigma )=\sigma \frac{d}{d\sigma }f_{5/2}(\sigma )=\... ...^{x^{2}}-1}% =\sum_{j=1}^{\infty }\frac{\sigma ^{j}}{j^{3/2}}.$$

Ausgedruckt durch diese Funktionen ergibt sich

$$-\frac{\Omega }{kTV}=\frac{p}{kT}=\frac{1}{\lambda ^{3}}g_{5/2}(\sigma )$$

$$\frac{N}{V}=\frac{1}{\lambda ^{3}}g_{3/2}(\sigma )$$

( $\lambda =h/\sqrt{2\pi mkT}$ die thermische Wellenlänge; es wird angenommen $Q=1$). Geschlossene analytische Formen der Zustandsgleichungen gibt es nur als Näherungen für Spezialfälle.