Das Planck'sche Strahlungsgesetz

Sei $N_i$ die mittlere Anzahl der Photonen der Schwingungsmode $i$. Anhand der Boseverteilung

$$N_i = \frac{1}{e^{\epsilon_i /kT}-1} \quad \mbox{mit } \epsilon_i=cp_i=h\nu_i.$$

Gesamtzahl der Photonen $N = \sum_i N_i$. Nach dem Kontinuumübergang erhält man

$$N = 2 \frac{4\pi V}{h^3} \int_0^{\infty} \frac{dp\, p^2}{e^{... ...0^{\infty} \frac{d\epsilon \, \epsilon^2} {e^{\epsilon/kT}-1},$$

oder, als Funktion der Frequenz,

$$N=2 \frac{4\pi V}{c^3} \int_0^{\infty} \frac{d\nu \, \nu^2}{e^{h \nu/kT}-1}.$$

Die Interpretation:

$$N= \int_0^{\infty} N(\nu) D(\nu) d\nu$$

mit:

$$N(\nu)=\frac{1}{e^{h\nu / kT}-1}: \quad \mbox{Anzahl der Photonen im Zustand mit Frequenz }\nu$$

und

$$D(\nu)=\frac{8\pi \nu^2 V}{c^3}: \quad \mbox{Zustandsdichte.}$$

$D(\nu)d\nu$ ist die Anz. der Zustände im Intervall $[\nu,\nu+d\nu]$. Energie des Photonengases (ohne Nullpunktenergie) $E=\sum_i \epsilon_i N_i$. In kontinuierlicher Darstellung

$$E=\int_0^{\infty} h\nu N(\nu) D(\nu) d\nu = \frac{8\pi V}{c^3} \int_0^{\infty} \frac{h\nu^3 \, d \nu}{e^{h \nu /kT}-1}.$$

Definition:

$$E=V \int_0^{\infty} u(\nu, T) d\nu$$

mit $u(\nu, T)$ - Energiedichte pro Frequenzeinheit:

$$\fbox{$ \displaystyle u(\nu, T) = \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3 \, d \nu}{e^{h \nu /kT}-1} $}$$

(PLANCK'sches Strahlungsgesetz).

Die gesamte Energiedichte ergibt sich als

$$u(T)=\int_0^{\infty} u(\nu, T) d\nu = \frac{8\pi h}{c^3} \in... ... d \nu}{e^{h \nu /kT}-1} = \frac{8 \pi^5 k^4}{15 c^3 h^3} T^4.$$

Die Energie, die durch ein kleines Loch pro Zeiteinheit ausgeschtrahlt wird, ist proportional zu $u(T)$. Daher folgt für die Intensität der Strahlung

$$I=c_{SB} T^4,$$

das STEFAN-BOLTZMANN-Gesetz.

Sei nun $u(\lambda, T)$ die Energiedichte der Strahlung pro Wellenlängeneinheit,

$$u(\lambda, T) = u(\nu(\lambda), T) \frac{d\nu}{d\lambda}= \frac{8\pi h c} {\lambda^5 (e^{hc/\lambda kT}-1)}.$$

$u(\lambda, T)$ hat ihr Maximum bei der Wellenlänge $\lambda_{\max}$ das durch das WIENER'sches Verschiebungsgesetz gegeben ist:

$$\lambda_{\max} T = \frac{1}{4.965...} \frac{hc}{k}$$

(hier ist 4.965... eine Wurzel der transzedenten Gleichung $xe^x=5(e^x-1)$). Das Maximum der Strahlung verschiebt sich bei höheren Temperaturen zu kürzeren Wellenlängen.