Beobachtung der Paarverteilungsfunktion

Die Paarverteilungsfunktion ist eine beobachtbare Größe: Sie kann in elastischen Streuexperimenten (Neutronen oder Röntgenstrahlung) gemessen werden.

Bei Streuung einer flachen Welle auf einem einzelnen Atom (im Ursprung der Koordinaten) entsteht eine Kugelwelle mit einer winkelabhängigen Amplitude:

$$\psi =\frac{f(\theta )}{R}e^{ikR}$$

($R$: Abstand vom Detektor, $f(\theta$): Atom- (Molekül-)formfaktor (Streuamplitude)). Befindet sich ein Atom nicht am Koordinatenursprung, so entsteht eine Phasendifferenz $\Delta \phi =2\pi (s_{1}+s_{2})/\lambda =% \mathbf{r(k}_{1}-\mathbf{k}_{0}\mathbf{)=rK}$, mit $\left\vert \mathbf{K}\right\vert =\left\vert \mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{0}\right\vert =(4\pi /\lambda )\sin (\theta /2)$.

Die Gesamtamplitude $\Psi$ der Streustrahlung am Detektor ist die Superposition der Beiträge aller Atome:

$$\Psi =\sum_{j=1}^{N}\psi (\mathbf{r}_{j})\simeq \frac{f(\theta )}{R}% e^{ikR}\sum_{j=1}^{N}e^{i\mathbf{Kr}_{j}}$$

(Annahme: Abstand $R$ zum Detektor ist groß verglichen mit den typische Abstände zwischen der streuenden Atome: Alle $R_{j}$ sind gleich). Die Intensität am Detektor:

$$\begin{eqnarray*} I(\theta ) &=&\frac{\Psi \Psi ^{*}}{2}\simeq \frac{f^{2}(\thet... ...}\right) \right\rangle \\ &\equiv &I_{A}(\theta )NS(\mathbf{K)} \end{eqnarray*}$$

mit $I_{A}(\theta )=f^{2}(\theta )/R^{2}$. $S(\mathbf{K)}$ ist der Strukturfaktor

$$\begin{eqnarray*} S(\mathbf{K)} &=&\frac{1}{N}\left\langle \sum_{i=1}^{N}\sum_{j... ...hbf{r}_{2})}= \\ &=&1+c\int d^{3}\mathbf{r}g(r)e^{i\mathbf{Kr}} \end{eqnarray*}$$

(Übergang zu Variablen $\mathbf{R}=\frac{1}{2}\left( \mathbf{r}_{1}+% \mathbf{r}_{2}\right)$ und $r=\left( \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right)$ ) $\Rightarrow$ $g(r)$ kann aus der Fourier-Transformation der messbaren Größe $I(\theta )$ bestimmt werden.

Bemerkung:

$$\begin{eqnarray*} S(\mathbf{K)} &=&1+c\int \left[ g(r)-1\right] e^{i\mathbf{Kr}}... ...+c\int h(r)e^{i\mathbf{Kr}}d^{3}\mathbf{r}+c\delta (\mathbf{K).} \end{eqnarray*}$$

Für $\mathbf{K}\neq 0$ (Übergang zur Kugelkoordinaten)

$$S(\mathbf{K)}=1+c\int \left[ g(r)-1\right] \frac{\sin Kr}{Kr}4\pi r^{2}d\mathbf{r.}$$