Die BGY-Gleichung

Brauchbare Näherungen bekommt man nur, wenn man diese unendliche Kette der Gleichungen an irgendeinem Schritt abbricht. Da thermodynamische Größen von der Paarverteilungsfunktion $g(r)=c^{-2}f_{2}(\left\vert \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right\vert )$ abhängig sind, empfiehlt sich als einfachste Näherung die Entkopplung auf dem Niveau der 2. Gleichung der Hierarche. Schreiben wir die Gl.(18) für $n=2$: und dividieren beide Teile durch $f_{1}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2})=f(r_{12})$. Wir erhalten

$$-kT\nabla _{1}\left[ \ln f_{2}(r_{12})\right] =\nabla _{1}u_... ...mathbf{r}_{1}\mathbf{r}_{2},% \mathbf{r}_{3})}{f_{2}(r_{12})}.$$

Hier liefert $f_{3}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\mathbf{r}% _{3})/f_{2}(r_{12})$ die bedingte Wahrscheinlichkeit das Teilchen 3 im Punkt $\mathbf{r}_{3}$ zu finden, vorausgesetzt, die Teilchen 1 und 2 sitzen in $% \mathbf{r}_{1}$ und $\mathbf{r}_{2}$, so dass die rechte Seite der Gleichung nicht anders ist, als die mittlere Kraft, das auf das Teilchen 1 in Anwesenheit von Teilchen 2 und 3 wirkt, so dass $f_{2}(r_{12})\propto \exp (-w/kT)$, wobei $w(r_{12})$ das Potential dieses mittleren Krafts ist. Es ist bequem, von der Funktion $f_{3}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\mathbf{r}% _{3})$ zu einer dimensionslosen 3-Teilchen Verteilungsfunktion überzugehen, $g_{3}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\mathbf{r}_{3})=c^{-3}f_{3} (\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\mathbf{r}_{3})$. Für $g_{3}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}% _{2},\mathbf{r}_{3})$ empfiehlt sich eine sog. KIRKWOOD-Näherung (1935):

$$g_{3}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\mathbf{r}_{3})=g_{2}(\m... ...{r}_{1},\mathbf{r}_{3})g_{2}(\mathbf{r}_{2},% \mathbf{r}_{3}).$$

Unter diese Annahme bekommen wir eine geschlossene Integrodifferentialgleichung für $g_{2}$, die BORN-GREEN-YVON-Gleichung (BGY):

$$-kT\nabla _{1}\left[ \ln g(r_{12})\right] =\nabla _{1}u_{12}... ...{r}_{1},\mathbf{r}_{3})g_{2}(% \mathbf{r}_{2},\mathbf{r}_{3}).$$