Höhere Mean-Field-Näherungen

Idee: Die mean-field-artige Näherungen können beliebig verfeinert werden, in dem man nicht ein Spin in einem effektiven Feld, sondern eine Gruppe (Cluster) der Spins betrachtet. Die einfachste Näherung solcher Art ist die BETHE-Näherung.

Man betrachte eine Gruppe von Spins. Den zentrale Spin betrachtet man exakt, die Wechselwirkungen seiner Nachbarn mit der Umgebung werden durch das effektiven Feld $h'_{eff}$ beschrieben:

$$H_B=-h\sigma_0 - J \sum_{j=1}^{C} \sigma_0 \sigma_j - (h+h'_{eff}) \sum_{j=1}^{C}\sigma_j.$$

Das effektive Feld $h'_{eff}$ wird selbstkonsistent aus $\left \langle \sigma_0 \right \rangle = \left \langle \sigma_j \right \rangle$ bestimmt. Die Zustandssumme in der Bethe-Näherung lautet:

$$Z=\sum_{\sigma_0 = \pm 1} \sum_{\sigma_j = \pm 1} \exp \left... ...{C} \sigma_j + \gamma \sum_{j=1}^{C} \sigma_0 \sigma_j \right]$$

mit $\alpha =h/kT$, $\alpha' = h'_{eff}/kT$ und $\gamma = J/kT$. Die Summation über $\sigma_0 = \pm 1$ ergibt $Z=Z_+ + Z_-$ mit

$$Z_\pm = \sum_{\sigma_j = \pm 1} \exp \left[ \pm \alpha + (\a... ...alpha} \left[ 2 \cosh (\alpha + \alpha' \pm \gamma) \right]^C.$$

Der Mittelwert des Spins ist

$$\left \langle \sigma_0 \right \rangle = \frac{Z_+ + Z_-}{Z}.$$

Gleichzeitig gilt:

$$\left \langle \sigma_j \right \rangle = \frac{1}{C} \left \l... ...\left( \frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial \alpha'} \right),$$

d.h.

$$\left \langle \sigma_j \right \rangle = \frac{1}{Z} \left[ Z... ...pha' + \gamma) + Z_- \tanh(\alpha + \alpha' - \gamma) \right].$$

Die Selbstkonsistenzbedingung $\left \langle \sigma_0 \right \rangle = \left \langle \sigma_j \right \rangle$ ergibt (unter einsetzen von $Z_\pm$)

$$e^{2\alpha'}=\left[ \frac{\cosh(\alpha+\alpha'+\gamma)} {\cosh(\alpha+\alpha'-\gamma)}\right]^ {C-1}.$$ (22)

Spontane Magnetisierung ($h=0$). In diesem Fall ist $\alpha=0$. Das Logarithmieren der beiden seiten der Gl.(22) ergibt:

$$\alpha'=\frac{C-1}{2} \ln \left[\frac{\cosh(\alpha'+\gamma)}{\cosh(\alpha'-\gamma)}\right].$$

$\alpha'=0$ ist immer eine Lösung. Nahe am Übergang sind $\alpha'$ klein. Taylorentwicklung:

$$\alpha'=(C-1) \tanh \gamma \left[ \alpha' - \frac{\alpha'^3}{3} \mbox{sech}^2 \gamma + ... \right].$$

Die nichttriviale Lösungen gibt es für $(C-1) \tanh \gamma >1$, d.h. für $\gamma > \gamma_c = \mbox{atanh} \displaystyle \left( \frac{1}{C-1} \right) \equiv \frac{1}{2} \ln \left( \frac{C}{C-2} \right)$. Auf Temperatur bezogen bedeutet das

$$T_c=\frac{2J}{k \ln[C/(C-2)]}.$$

Diskussion.

$\bullet$ Die Bethe-Näherung reproduziert die exakte Aussage über die Abwesenheit des Phasenübergangs in einem eindimensionalen Ising-Modell (für $C=2$ hat man $T_c=0$).

$\bullet$ Für große $C$ ist $$\ln \left( \frac{C}{C-2} \right) = \ln \left(1- \frac{2}{C} \right) \approx \frac{2}{C}$$: Im Falle grosser Zahlen der Nachbarn stimmen die einfache Molekularfeldnäherung und die Bethe-Näherung überein. Die MF-Näherungen sind gut für die höheren Dimensionen.