Universalitätshypothese

GRIFFITHS, 1970. Die kritische Exponenten sind universal, d.h. sie hängen nur von den folgenden Eigenscheften des System ab:

• Räumliche Dimension $d$ des Systems

• Der Anzahl $n$ der Spinkomponenten ($n=1$ - Ising, $N=2$ - XY, $N=3$ - Heisenberg, u.s.w.)

• Reichweite der Wechselwirkung (z.B. Ising - kurtzreichweitige WW, Coulomb-WW ist dagegen sehr langreichweitig).

Für die Wechselwirkungspotentiale $u(r) \propto r^{-(d+2+x)}$ (z.B. in einem Gas) mit $d \leq 4$ unterscheidet man die folgende Situationen:

$\bullet$ $x>0$ - kurzreichweitige Wechselwirkung

$\bullet$ $x<d/2 - 2$ - sehr reichweitige Wechselwirkung (in diesem Fall liefert die MF-Theorie die richtige Werte der kritischen Exponenten)

$\bullet$ $d/2 -2 < x < 0$ - nichtuniversaler Bereich der mittelreichweitigen WW: Kritische Exponenten sind von $x$ explizit abhängig.

Aus der Thermodynamik kennen wir die folgende Ungleichungen für die kritische exponenten

$$\begin{array}{lll} \par \left. {\begin{array}{lll} (1) & \al... ...}} \right\} & \mbox{TD Stabilit\uml at + FDT} & \\ \end{array}$$

Für exakt lösbare Modelle (Ising und andere) und die meisten experimentellen Daten (innerhalb der Fehlergrenzen) liegen diese Ungleichungen stets als Identitäten vor. Die Exponenten an beiden Seiten des Übergangs ($\alpha$ und $\alpha'$, $\gamma$ und $\gamma'$ usw.) sind stets gleich.

Interessant: Für das MF-Resultat des Ising-Modell (sog. klassische Exponenten) sind die Gl.(1)-(5) erfüllt. Unter der Annahme, das die Gl.(6) und (7) die räumliche Dimension eines MF-systems definieren, bekommen wir: Aus (6) bekommt man $d=(2-\alpha)/\nu=2/(1/2)=4$, aus (7) $d=(2-\eta)(\delta+1)/(\delta-1)=2 \cdot 4 / 2 =4$. $d=4$ ist die obere kritische Dimension für das Ising-Modell.