Die Skalenhypothese

Die Identitäten können durch die Annahme erklärt werden, dass in der Nähe von $T_c$ $F(T,h)$ eine verallgemeinerte homogene Funktion der Parameter $h$ und $\tau=1-T/T_c$ ist (hier ist $N=const$), d.h.

$$F(\lambda^x\tau, \lambda^y h)=\lambda F(\tau,h)$$

(z.B. für das 2d Ising Modell nahe am Übergang $x=1/2$ und $y=15/16$). Nehmen wir $\lambda = \tau ^{-1/x}$. So erhalten wir

$$F(\tau,h) = \tau^{1/x} F(1, h/\tau^{y/x}) = \tau^{1/x} \phi(h/\tau^{y/x})$$

Daher:

$$m _{h=0} = \left( \frac{\partial F}{\partial h} \right)_{\tau, h=0} = -\frac{\tau^{1/x}}{\tau^{y/x}} \phi'(0)$$

Anderseits, $m \propto \tau^\beta$ $\Rightarrow$

$$\fbox{$\beta=\displaystyle \frac{1-y}{x} $}$$

Weiterhin,

$$\chi_{h=0}=- \left( \frac{\partial^2 F}{\partial h^2} \right)_{\tau, h=0}= \tau^{\frac{1-2y}{x}} \phi''(0)$$

Anderseits, $\chi \propto \tau^{-\gamma}$ $\Rightarrow$

$$\fbox{$\gamma=\displaystyle \frac{2y-1}{x} $}$$

Für die spezifische Wärme hat man

$$C_{h=0}=-T \left( \frac{\partial^2 F}{\partial T^2} \right)_... ...\frac{1}{x} \left( \frac{1}{x}-1 \right) \tau^{\frac{1}{x}-2}$$

Anderseits, $C_{h=0} \propto \tau^{-\alpha}$ $\Rightarrow$

$$\fbox{$\alpha=\displaystyle 2- \frac{1}{x} $}$$

Für die Berechnung von $\delta$ braucht man eine Umschreibung $F(\tau,h)=h^{1/y} \psi(h/\tau^{y/x})$ mit $\psi(z)=z^{-1/y}\phi (z)$. Es wird angenommen, dass $\psi_\infty = \lim_{x \rightarrow \infty} \psi(z) < \infty$. Dann ist

$$m_{\tau=0} = - \left( \frac{\partial^F}{\partial h} \right)_{\tau=0} = \frac{\psi_\infty}{y} h^{\frac{1}{y}-1}.$$

Daher

$$\fbox{$\delta=\displaystyle \frac{y}{1-y} $}$$

Kombinieren:

$$\alpha + 2\beta + \gamma = \frac{(2x-1)+2(1-y)+(2y-1)}{x}=2$$

$$\alpha + \beta(\delta+1) = \frac{2x-1}{x} + \frac{1}{x} =2$$

$$\gamma - \beta (\delta-1) = \frac{2y-1}{x} - \frac{1-y}{x} \cdot \frac{2y-1}{y-1}=0$$

Das sind unsere (Un)Gleichungen (1) - (3).

Die Identitäten vom Typ (4) - (7) brauchen die FDT; wir werden sie auf einem anderen Wege bekommen.