Die Kadanoff-Konstruktion

$$H=-J \sum_{nn} \sigma_i \sigma_j - h \sum_i \sigma_i.$$

• Das Gitter wird in Elementarzellen(Blocks) mit der Seitenlänge $L$ eingeteilt, mit jeweils $L^d$ Spins.

  Da für $T \rightarrow T_c$ die Korrelationslänge divergiert, $\xi \rightarrow \infty$, kann $L$ stets so gewählt werden, dass $a \ll L \ll \ \xi$ ist. In einem Cluster, der vorwiegend aus gleich orientierten Spins besteht, befinden sich viele Blocks.

• Es wird ein Blockspin eingeführt, z.B. durch
  
  $$S_\alpha = \sum_{i \in \alpha} \sigma_i$$
  
  
  (der Index $\alpha$ numeriert die Blocks). In einem völlig geordneten Zustand gilt $S_\alpha = \pm L^d$. Nahe am Übergang ist die Korrelationslänge groß, so dass fast für alle Blocks $S_\alpha \approx \pm L^d$ ist. Die Block-Spins verhalten sich näherungsweise wie Ising-Spins. Durch die entsprechende Renormierung der Konstanten kann man $S = \pm 1$ erreichen.

Vergröberung: In der Nähe von $T_{c}$ kann man sich das System in der gleiche Weise aus Cluster korrelierter Blockspins zusammengesetzt denken, wie aus Cluster der Einzehlspins. D.h. $H$ kann auch durch die Blochspins ausgedruckt werden:

$$\tilde{H}\simeq -\tilde{J}\sum_{nn}S_{i}S_{j}-\tilde{h}\sum_... ...t\{ \mbox{m\uml oglicherweise weitere kleine Glieder}\right\}$$

allerdings mit anderen $J$, $h$ und reduzirter Temperatur $\tau$. $\tilde{J}$, $\tilde{h}$ und $\tilde{\tau}$ sind so definiert worden, dass alle TD Funktionen (z.B. $F$) die aus $H$ bzw. $\tilde{H}$ folgen in der Nähe des kritischen Punkts gleich sind. Man nimmt an, dass eine Abbildung existiert $(J,h,\tau )\rightarrow (\tilde{J},\tilde{h},\tilde{\tau})$. $J$ ist ein interner Parameter; $h,\tau$ sind die externen Parameter.

Im kritischen Bereich müssen die freie Energie pro Spin $f=F/N$ und die freie Energie pro Blockspin $\tilde{f}=F_{b}/(N/L^{d})$ die gleiche funktionale Gestalt haben, d.h.

$$\tilde{f}(\tilde{\tau},\tilde{h})=L^{d}f(\tau ,h)$$

(gilt nur für den singulären Teil der Freien Energie nahe am Übergang, die für die Singularitäten am Übergang verantwortlich sind). Der kritische Punkt $\tau =0,$ $h=0$ bzw. $\tilde{\tau}=0$, $\tilde{h}=0\,$ist für die beide Systeme gleich: $(\tau =0,h=0)\rightarrow (\tilde{\tau}=0,% \tilde{h}=0)$. Annahme: Lienearisierung nahe des kritischen Punktes:

$$\begin{eqnarray*} \tilde{\tau} &=&p(L)\tau \\ \tilde{h} &=&q(L)h. \end{eqnarray*}$$

Dann gilt:

$$f(p(L)\tau ,q(L)h)=L^{d}f(\tau ,h).$$

Schalten wir 2 Skalentransformationen mit Skalenfaktoren $L$ und $M$ hintereinander:

$$(LM)^{d}f(\tau ,h)=L^{d}f(p(M)\tau ,q(M)h)$$

$$=f(p(LM)\tau,q(LM)h)=M^{d}f(p(L)\tau ,q(L)h)$$

$\Rightarrow$

$$\begin{eqnarray*} p(LM) &=&p(L)p(M) \\ q(LM) &=&q(L)q(M) \end{eqnarray*}$$

Das bedeutet, dass die beide Funktionen die Potenzgesetze sind. Beweis:

$$\frac{\partial }{\partial L}p(LM)=Mp^{\prime }(LM)=\frac{\partial }{\partial L}\left[ p(L)p(M)\right] =p(M)p^{\prime }(L).$$

Mit $p(1)=1$ und $p^{\prime }(1)=a$ bekommt man: $Mp^{\prime }(M)=ap(M)$, oder

$$\frac{d}{dM}\log p=\frac{a}{M},$$

so dass $p(M)=const\cdot M^{a}$. Gleichermassen gilt $q(M)\propto M^{b}$. Vergleichen wir

$$L^{d}f(\tau ,h)=f(L^{a}\tau ,L^{b}h).$$

Setzen wir $\lambda =L^{d}$, so erhalten wir

$$\lambda f(\tau ,h)=f(\lambda ^{a/d}\tau ,\lambda ^{b/d}h),$$

d.h. $x=a/d$ und $y=b/d$.

Die Kadanoff-Transformation $K_{L}$ lässt die Korrelationslänge $\xi$ sich um den Faktor $L$ verkleinern:

$$\tilde{\xi}=L^{-1}\xi .$$

Gleichzeitig ändert sich die relative Temperatur: $\tilde{\tau}% =L^{a}\tau =L^{xd}\tau$. Anderseits gilt $\xi \propto \tau ^{-\nu }$ $% \Rightarrow$

$$\tilde{\xi}\propto \tilde{\tau}^{-\nu }=L^{-\nu xd}\tau ^{-\nu }\propto L^{-\nu xd}\xi .$$

Daraus folgt $\nu xd=1$ oder $\nu d=1/x$. Da $\alpha =2-1/x$, beweist man durch die Fischer-Identität

$$\nu d=2-\alpha .$$

Gleichermaßen folgen andere Identitäten, die $\nu$ beinhalten.

Die Hauptidee der Kadanoff-Transformation ist in verschiedenen Varianten des Renormierungsgruppenzugang realisiert worden:

Die verschiedene Varianten von RSRG (Real space renormalization group) benutzen entweder Mittlung (wie bei Kadanoff), oder die Majoritätsregel (der Blockspin nimmt den Wert an, den die meisten Spins innerhalb des Blocks haben) oder die Dezimierung (den Wert des Blockspins ist mit dem Wert irgendeines Spins des Blocks gleichgesetzt.

Das Verfahren im Fourier-Raum (Wilson RG) benutzt Glättung (Integration über die höheren Fourier-Komponenten) statt Mittlung. Diese Transformation wird durch einen Operator $R$ beschrieben:

$$H_1=R_LH$$

$R_L$ ist ein Operator der die Kadanoff-Transformation relisiert. Die Operatoren bilden eine Semigruppe: $R_{LL'}=R_L R_{L'}$.

Annahme: $\exists \lim_{L \rightarrow \infty} H = H^*$. Der invariante ''Hamiltonian'' ist ein Fixpunkt der Transformation $R$: $R_L H^* = H^*$. Da im kritischen Punkt $\xi \rightarrow \infty$ und somit die Eigenschaften des Systems nicht von $L$ abhängen, entspricht $H^*$ genau dem kritischen Punkt. Die freie Energie $F$ als Funktional von $H$ hängt von einem Vektor dem Parameter $\mathbf{p}$ ab. Z.B. ist für das Ising-Modell $\mathbf{p}=(J,h,T)$. $\mathbf{R}_L$ transformiert diesen Vektor unter den Skalentransformation (diese Transformation ist nicht unbedingt linear!): $\mathbf{p'}=\mathbf{R}_L \mathbf{p}$. Der Vektor $\mathbf{p}^*$ entspricht dem Fixpunkt.

Linearisierung nahe des Fixpunktes: $\mathbf{p}-\mathbf{p}^* = \delta \mathbf{p}$,

$$\delta \mathbf{p}' = \mathbf{R}_L^l \delta \mathbf{p}.$$

Das linearisierte Operator $\mathbf{R}_L^l$ ist jetzt eine Matrix. Wir bezeichnen die Eigenvektoren diese Matrix als $\mathbf{e}_i$ und die entsprechenden Eigenwerte als $\rho_i$. Entwickeln wir die Vektoren $\delta \mathbf{p}$ und $\delta \mathbf{p}$ in dieser Basis:

$$\delta \mathbf{p} = \sum_i t_i \mathbf{e}_i$$

und

$$\delta \mathbf{p}' = \mathbf{R}_L^l \delta \mathbf{p} = \sum_i \rho_i t_i \mathbf{e}_i.$$

Da $\mathbf{R}_L^l$ eine Semigruppe bilden, $\mathbf{R}_{LL'}^l = \mathbf{R}_L^l \mathbf{R}_{L'}^l$ so $\rho_i(LL')=\rho_L \rho_{L}'$. Daher gilt $\rho_i(L)=L^{a_i}$. Daraus folgen die kritischen Exponenten.

Typischer Weise ist die ganze Prozedur technisch kompliziert. Die beste Literaturquelle zum Weiterlesen ist:

J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher and M.E.J. Newman, The Theory of critical Phenomena, Clarendon, Oxford, 2002