Bewegungsgleichung für die Wignerfunktion.

$H=p^{2}/2m+U(x)$. Die Bewegungsgleichung für die Dichtematrix

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\langle x\right\vert... ...angle x\right\vert \rho \left\vert x^{\prime }\right\rangle .$$

Variablenwechsel $(x,x^{\prime })\rightarrow (q,r)$: Die rechte Seite geht über in

$$\left\{-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\left[ \left( \frac{1}{2}\frac{... ...r}{2}\right\vert \rho \left\vert q-\frac{r}{2}\right\rangle .$$

Benutzen wir jetzt die folgende Eigenschaften der Fourier-Transformation ( $% \forall F(p,q)$, so dass $F(q,r)\rightarrow 0$ für $q,r\rightarrow \infty$):

$$\int_{-\infty }^{\infty }dr\exp \left( -\frac{ipr}{\hbar }\r... ...ty }^{\infty }dr\exp \left( -\frac{ipr}{\hbar }\right) F(q,r)$$

(partielle Integration) und

$$\int_{-\infty }^{\infty }dr\exp \left( -\frac{ipr}{\hbar }\r... ... }^{\infty }dr\exp \left( -\frac{ipr}{\hbar }% \right) F(q,r)$$

(Taylorentwicklung von $U$ und die vorherige Gl.). Man bekommt dann

$$\frac{\partial }{\partial t}f(p,q,t)=\left\{ -\frac{p}{m}\fr... ...ac{\partial }{% \partial p}\right) \right] \right\} f(p,q,t).$$

Das ist eine Gleichung, die die quantenmechanische Analogie zur Liouville-Gleichung darstellt. In klassiscnem Limes $\hbar \rightarrow 0$ bekommt man

$$\frac{1}{i\hbar }\left[ U\left( q-\frac{\hbar }{2i}\frac{\pa... ... \frac{\partial U}{\partial q}\frac{\partial }{\partial p}% ,$$

und die rechte Seite der Gleichung geht in den Liouville-Operator über.

Bemerkung: Für $\hbar \neq 0$ ist $f(p,q)$ eine reelle Funktion, allerdings keine Wahrscheinlichkeitsdichte, da sie sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann.