Dichtematrix in Wigner-Darstellung:

$$f(p,q)=\int_{-\infty }^{\infty }dr\exp (ipr/\hbar )\left\langle x\right\vert \rho \left\vert x^{\prime }\right\rangle ,$$

Wiegner'sche Verteilungsfunktion. Die Umkehrtransformation lautet:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle x\right\vert \rho \left\vert x^{\prime }\right\ra... ...x-x^{\prime })/\hbar )f\left( p,\frac{x+x^{\prime }}{2}\right) . \end{eqnarray*}$$

Benutzen wir jetzt die Eigenschaft

$$\begin{eqnarray*} \left\langle A\right\rangle &=&\mbox{Sp}\left( A\rho \right) =... ...eft\langle x^{\prime }\right\vert \rho \left\vert x\right\rangle \end{eqnarray*}$$

Unter Benutzung des vorherigen Gleichung erhalen wir:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle A\right\rangle &=&\frac{1}{h}\int \int dxdx^{\pri... ...)/\hbar }f(p,q) \\ &=&\frac{1}{h}\int \int dpdqA_{w}(p,q)f(p,q) \end{eqnarray*}$$

(Variablenwechsel $x-x^{\prime }=r$, $(x+x^{\prime })/2=q$). In Wigner-Notation also $\hat{A}\rightarrow A_{w}$, $\hat{\rho}\rightarrow f$, $% \mbox{Sp}\rightarrow h^{-1}\int \int dpdq...$ .