Übergang zur klassischen Systeme.

Wir betrachten hier nur das Beispiel der Teilchen in 1 Dimension.

$$\phi_n(x)= \frac{1}{\sqrt{L}} \exp \left( \frac{i p_n x}{\hbar} \right)$$

mit $p_n=\displaystyle \frac{2 \pi \hbar}{L} n$ (flache Wellen als vollständige Basis für die Berechnung der Dichtematrix). Das Hamilton-Operator

$$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} +U(x)$$

Jetzt können wir $\rho$ ausrechnen. Dafür brauchen wir den Ausdruck für

$$\exp(-\beta \hat{H}) e^{ipx/\hbar} = \sum_{s=0}^\infty \frac{1}{s!} (-\beta \hat{H})^s e^{ipx/\hbar}.$$

Für eine beliebige hinreichend differenzierbare Funktion $\phi(x)$ gilt:

$$\hat{H} e^{ipx/\hbar} \phi(x) = e^{ipx/\hbar} \left[ \frac{... ... \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \right)^2 +U(x) \right] \phi(x)$$

(Produktregel). Nach $s$-maliger Anwendung dieses Verfahrens bekommen wir:

$$\hat{H}^s e^{ipx/\hbar} \phi(x) = e^{ipx/\hbar} \left[ \fra... ...rac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \right)^2 +U(x) \right]^s \phi(x),$$

so dass

$$\exp( -\beta \hat{H}) e^{ipx/\hbar} \phi(x) = e^{ipx/\hbar} ... ...ar}{i} \frac{d}{dx} \right)^2 +U(x) \right] \right\} \phi(x),$$

und das Operator $\rho$ ist:

$$\rho(x,x') = \frac{1}{L} \sum_n e^{ip_n(x-x')/\hbar} \exp \... ...frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \right)^2 +U(x) \right] \right\}.$$

Daher lautet die Zustandssumme

$$Z= \int_0^L \rho(x,x)dx = \frac{1}{L} \sum_n \int_0^L \exp ... ...c{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \right)^2 +U(x) \right] \right\} dx.$$

Für $L \rightarrow \infty$: Kontinuumübergang $$\frac{1}{L} \sum_n \rightarrow \int \frac{dp}{2 \pi \hbar}$$. Klassischer Übergang als formaler Übergang $\hbar \rightarrow 0$ im Integral:

$$Z \rightarrow \frac{1}{2 \pi \hbar} \int \int dx \, dp\, e^{-\beta H(x,p)}.$$

Wenn das System aus $N$ Teilchen besteht, kann über ihre Koordinaten unabhängig integriert, und dann durch Anzahl der Permutationen dividiert werden. Man bekommt den klassischen Ausdruck

$$Z=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3N} N!} \int \int d^{3N}q \, d^{3N}p \, e^{- \beta H(q,p)}.$$