Noch ein Zugang

Betrachten wir unsere Situation etwas allgemeiner. Die Schrödingergleichung

$$\left( \hat{H}_{0}+\lambda \hat{H}_{1}\right) \left\vert \psi \right\rangle =E\left\vert \psi \right\rangle$$

in der Energiedarstellung des ungestörten Systems

$$\left\vert \psi \right\rangle =\sum_{m}a_{m}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle$$

reduziert sich zu einem System homogener algebraischer Gleichungen für die Koeffizienten $a_{m}$:

$$\sum_{n}\left( H_{mn}-E\delta _{mn}\right) a_{n}=0$$ (54)

mit

$$H_{mn}=\left\langle m\vert\hat{H}_{0}+\lambda \hat{H}_{1}\ve... ...f\ddot{u}r} & m=n \\ \lambda W_{mn} & & \end{array}\right. .$$

Das Gleichungssystem Gl.(54) hat eine Lösung falls

$$\det \left( H_{mn}-E\delta _{mn}\right) =0$$

(die Säkulardeterminante). Die Wurzeln dieser Gleichung

$$\left\vert \begin{array}{llll} E_{1}^{(0)}+\lambda W_{11}-E... ...3}-E & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{array}\right\vert =0$$

ergeben das exakte Spektrum des Hamiltonians $\hat{H}$.

Die Determinante einer Matrix $\left\{ a_{ij}\right\}$ ist eine Summe über alle möglichen Produkten der Elementen aus verschiedenen Spalten

$$D=\sum_{i,j,k,...}\varepsilon _{ijk...}a_{1j}a_{2j}a_{3k}...$$

wobei $\varepsilon _{ijk...}=1$ für gerade Permutationen $(i,j,k,...)$ von $(1,2,3,...)$, $\varepsilon _{ijk...}=-1$ für ungerade Permutationen und 0 falls die Indices sich wiederhohlen.

Das Suchen der Energie des Zustandes $n$ bedeutet, unsere Energie $E$ ist nahe an $E_{n}^{(0)}$. Da alle nichtdiagonalen Elementen unserer Determinanten $\lambda$ enthalten, ist die Ordnung der Störungstheorie gleich der Anzahl der in jedem Produkt enthaltenen nichtdiagonale Terme. Die 1. Ordnung entspricht den diagonalen Gliedern: in dieser Ordnung

$$D=(E_{1}^{(0)}+\lambda W_{11}-E)(E_{2}^{(0)}+\lambda W_{22}-E)...(E_{n}^{(0)}+\lambda W_{nn}-E)...=0$$

so dass

$$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda W_{nn}.$$

In der 2. Ordnung sollen wir jetzt die nichtdiagonalen Elementen mitnehmen. Rechnen wir z.B. die Korrektur 2. Ordnung zu $E_{1}$ aus. Dafür ist es genug nur die nichtdiagonalen Elementen in der 1. Zeile und 1 Spalte zu berücksichtigen:

$$\left\vert \begin{array}{llll} E_{1}^{(0)}+\lambda W_{11}-E... ...{3}-E_{1} & 0 \\ ... & 0 & 0 & ... \end{array}\right\vert =0.$$

Die Minorenentwichlung dieses Determinanten über der 1. Spalte ergibt (mit $D_{2}=(E_{2}^{(0)}+\lambda W_{22}-E_{1})...(E_{n}^{(0)}+\lambda W_{nn}-E_{1})$)

$$D=(E_{1}^{(0)}+\lambda W_{11}-E_{1})D_{2}-\sum_{n\neq 1}\lam... ...}\lambda W_{1n}\frac{D_{2}}{E_{n}^{(0)}+\lambda W_{nn}-E_{1}}.$$

Aus der Bedingung $D=0$ bekommen wir (unter der Voraussetzung $D_{2}\neq 0$, keine Entartung)

$$E_{1}=E_{1}^{(0)}+\lambda W_{11}-\lambda ^{2}\sum_{n\neq 1}\... ...ert W_{1n}\right\vert ^{2}}{E_{n}^{(0)}+\lambda W_{nn}-E_{1}}.$$

Das ist die Gleichung für $E_{1}$ (BRILLOUIN & WIGNER) die z.B. durch der Methode der sukzessiven Approximation gelöst werden kann. In der niedersten Ordnung (vernachlässigen $\lambda W_{nn}$ im Nenner, Einsetzen $E_{1}\approx E_{1}^{(0)}$ im Nenner) bekommen wir unsere Gl.(51).