Beispiel: eine zweifach einartetes Niveau.

Betrachten wir ein zweifach entartetes Energieniveau, dessen Entartung in der 1. Ordnung der Störungstheorie nicht aufgehoben wird: $E_{1}=H_{11}=H_{22}$ und 2 dazugehörige Wellenfunktionen $\left\vert 1\right\rangle$ und $\left\vert 2\right\rangle$. Alle anderen Zustände des Spektrums liegen energetisch weit entfernt. Die Wellenfunktionen der 2 ''gestörten'' Zustände $\left\vert \psi _{+}\right\rangle =\left\vert +\right\rangle$ und $\left\vert \psi _{-}\right\rangle =\left\vert -\right\rangle$ sind dann

$$\left\vert \psi _{1,2}\right\rangle =a_{\pm }\left\vert 1\right\rangle +b_{\pm }\left\vert 2\right\rangle .$$

Die Säkulargleichung für solche Systeme lautet

$$\left( \begin{array}{ll} E_{1}-E & W \\ W & E_{1}-E \end{a... ...right) \left( \begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right) =0$$

mit $W=H_{12}$ (als reell angenommen). Aus der Bedingung

$$\begin{eqnarray*} 0 &=&\det \left( \begin{array}{ll} E_{1}-E & W \\ W & E_{1}-... ..._{1}-E\right) ^{2}-W^{2}=E^{2}-2EE_{1}+\left( E^{2}-W^{2}\right) \end{eqnarray*}$$

erhalten wir

$$E_{\pm }=E_{1}\pm W.$$

Die Koeffizienten $a$, $b$ sind dann durch die Ls'gen des folgenden Gleichungssystems gegeben:

$$\left( \begin{array}{ll} E_{1}-E_{1}\mp W & W \\ W & E_{1}... ...ight) \left( \begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right) =0.$$

Für die entsprechenden Werte bekommen wir entweder

$$-a+b=0$$

oder

$$a+b=0,$$

d.h.

$$a_{+}=b_{+}$$

und

$$a_{-}=-b_{-}.$$

Die Wellenfunktionen müssen normiert sein, so dass

$$\left\vert a_{\pm }\right\vert ^{2}+\left\vert b_{\pm }\right\vert ^{2}=1.$$

Da diese Koeffizienten stets reell gewählt werden können, bekommen wir

$$\left\vert +\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\vert 1\ri... ... \left\vert 1\right\rangle +\left\vert 2\right\rangle \right)$$

und

$$\left\vert -\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left\vert 1\right\rangle -\left\vert 2\right\rangle \right) .$$

Die erste WF ist symmetrisch gegenüber des Austauschens der Teilchen, die zweite ist antisymmetrisch.