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Beispiel: eine zweifach einartetes Niveau.

Betrachten wir ein zweifach entartetes Energieniveau, dessen Entartung in der 1. Ordnung der Störungstheorie nicht aufgehoben wird: $E_{1}=H_{11}=H_{22}$ und 2 dazugehörige Wellenfunktionen $\left\vert 1\right\rangle $ und $\left\vert 2\right\rangle$. Alle anderen Zustände des Spektrums liegen energetisch weit entfernt. Die Wellenfunktionen der 2 ''gestörten'' Zustände $\left\vert \psi _{+}\right\rangle =\left\vert +\right\rangle $ und $\left\vert \psi _{-}\right\rangle =\left\vert -\right\rangle $ sind dann

\begin{displaymath}
\left\vert \psi _{1,2}\right\rangle =a_{\pm }\left\vert 1\right\rangle +b_{\pm
}\left\vert 2\right\rangle .
\end{displaymath}

Die Säkulargleichung für solche Systeme lautet

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ll}
E_{1}-E & W \\
W & E_{1}-E
\end{a...
...right) \left(
\begin{array}{l}
a \\
b
\end{array}\right) =0
\end{displaymath}

mit $W=H_{12}$ (als reell angenommen). Aus der Bedingung

\begin{eqnarray*}
0 &=&\det \left(
\begin{array}{ll}
E_{1}-E & W \\
W & E_{1}-...
..._{1}-E\right) ^{2}-W^{2}=E^{2}-2EE_{1}+\left( E^{2}-W^{2}\right)
\end{eqnarray*}

erhalten wir

\begin{displaymath}
E_{\pm }=E_{1}\pm W.
\end{displaymath}

Die Koeffizienten $a$, $b$ sind dann durch die Ls'gen des folgenden Gleichungssystems gegeben:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ll}
E_{1}-E_{1}\mp W & W \\
W & E_{1}...
...ight) \left(
\begin{array}{l}
a \\
b
\end{array}\right) =0.
\end{displaymath}

Für die entsprechenden Werte bekommen wir entweder

\begin{displaymath}
-a+b=0
\end{displaymath}

oder

\begin{displaymath}
a+b=0,
\end{displaymath}

d.h.

\begin{displaymath}
a_{+}=b_{+}
\end{displaymath}

und

\begin{displaymath}
a_{-}=-b_{-}.
\end{displaymath}

Die Wellenfunktionen müssen normiert sein, so dass

\begin{displaymath}
\left\vert a_{\pm }\right\vert ^{2}+\left\vert b_{\pm }\right\vert ^{2}=1.
\end{displaymath}

Da diese Koeffizienten stets reell gewählt werden können, bekommen wir

\begin{displaymath}
\left\vert +\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\vert 1\ri...
... \left\vert
1\right\rangle +\left\vert 2\right\rangle \right)
\end{displaymath}

und

\begin{displaymath}
\left\vert -\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left\vert 1\right\rangle
-\left\vert 2\right\rangle \right) .
\end{displaymath}

Die erste WF ist symmetrisch gegenüber des Austauschens der Teilchen, die zweite ist antisymmetrisch.


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Prof. Igor Sokolov 2005-02-14