Entartung/Quasientartung

Betrachten wir zunächst eine einfache Situation mit zwei behachbarnten Niveaus. Die Beiträge aller anderen Niveaus in der Störungsrechnung sind klein, und können auf den bekannten Wegen bestimmt oder vollständig vernachlässigt werden. Wir bekommen dann die Situation für ein effektives Zweiniveausystem (2-dimensionaler Hilbertraum in der Energiedarstellung mit Zuständen $\left\vert E_{1}\right\rangle$ und $\left\vert E_{2}\right\rangle$). In diesem Fall

$$\left\vert \psi \right\rangle =a\left\vert E_{1}\right\rangle +b\left\vert E_{2}\right\rangle .$$

Die Säkulardeterminante lautet dann

$$\det \left( \begin{array}{ll} H_{11}-E & H_{12} \\ H_{21} & H_{22}-E \end{array}\right) =0$$

und ergibt die Energiewerte

$$E_{\pm }=\frac{1}{2}\left[ H_{11}+H_{22}\pm \sqrt{\left( H_{... ...{22}\right) ^{2}+4\left\vert H_{12}\right\vert ^{2}}\right] .$$

Die gleiche Formel gilt auch für entartete Zustände: $% H_{11}=E_{0}+\lambda W_{11}$, $H_{12}=E_{0}+\lambda W_{22}$. Da die Matrixelementen der Störung normalerweise nicht verschwinden, wird die Entartung durch die Störung aufgehoben.

Betrachten wir den Grenzfall $\left\vert H_{11}-H_{22}\right\vert \gg \left\vert H_{12}\right\vert$. Entwicklung der Wurzel ergibt z.B. für $E_{+}$

$$\begin{eqnarray*} E_{+} &=&\frac{1}{2}\left( H_{11}+H_{22}\right) +\frac{1}{2}\l... ...&H_{11}+\frac{\left\vert H_{12}\right\vert ^{2}}{H_{11}-H_{22}}. \end{eqnarray*}$$

Vernachlässigen wir in $H_{nn}$ (mit $n=1,2$) $\lambda W_{nn}$ in Vergleich mit $E_{0}^{(1)}$ so erhalten wir unsere übliche Formel für die Störungsrechnung 2 Ordnung, wobei die Beiträge entfernter Niveaus vernachlässigt sind.

Nachdem $E_{\pm }$ bekannt sind, kann man aus dem Gleichungssystem

$$\left( \begin{array}{ll} H_{11}-E & H_{12} \\ H_{21} & H_{... ...right) \left( \begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right) =0$$

auch die Entwicklungskoeffizienten $a$ und $b$ finden (beachte Normierung!). Die gleichen Überlegungen gelten i.A. auch für die höheren Entartungsgrade. Man erhält die Säkularmatrizen höherer Ordnung.