Rechenbeispiel 1: 2 $\delta$-Funktionen.

Im experimentellen Teil der Vorlesung hat man normalerweise die Störung als Einflüß des schwachen äußeren Feldes betrachtet. Wir können aber die theoretische Möglichkeit der ''Einschaltung'' der Wechselwirkung ausnutzen um Störungstheorie auch in der Situationen anzuwenden, bei denen es am Anfang nicht klar ist was diese ''Störung'' eigentlich bedeutet.

Dies ist sehr einfach zu verstehen, wenn man die WF'nen z.B. für das Potential aus 2 $\delta$-funktionen

$$U(x)=-q\delta (x+X)-q\delta (x-X)$$

betrachtet; $q$ ist die Potentialstärke. Wenn die 2 $\delta$-Mulden weit voneinender entfernt sind, können wir die 2 gleichwertigen Zustände unterscheiden: ''Elektron in der linke Mulde'' ( $\left\vert L\right\rangle$) und ''Elektron in der rechte Mulde'' ( $\left\vert R\right\rangle$). Da die Mulden weit voneinender entfernt sind, mischen sich die Zustände nicht. Das Elektron bleibt da, wo es von Anfang an (nach der Präparation des Systems) war. Die Zustände $\left\vert L\right\rangle$ und $\left\vert R\right\rangle$ mit WF

$$\psi _{L}(x)=\frac{1}{\sqrt{a_{0}}}\exp \left( -\frac{\left\vert x+X\right\vert }{% a_{0}}\right)$$

und

$$\psi _{R}(x)=\frac{1}{\sqrt{a_{0}}}\exp \left( -\frac{\left\vert x-X\right\vert }{% a_{0}}\right)$$

(mit $a_{0}=\sqrt{\frac{2m\left\vert E\right\vert }{\hbar ^{2}}}$ der Lokalizationslänge des Zustands; die Energie beider Zuständen $% E_{0}=-\frac{mq^{2}}{2\hbar ^{2}}$) sind zueinender orthogonal weil für $% X\rightarrow \infty$ gilt $\int \psi _{L}(x)\psi _{R}(x)dx\rightarrow 0$. Die Wechselwirkung zwischen der Zuständen wird eingeschaltet, wenn wir jetzt $X$ verkleinern. Die nichtdiagonalen Elemente der Säkulardeterminante sind jetzt

$$\begin{eqnarray*} H_{11} &=&H_{22}=\left\langle L\left\vert \hat{H}\right\vert L... ... (x+X)dx \\ &=&E_{0}-\frac{q}{a_{0}}\exp \left( -2a_{0}x\right) \end{eqnarray*}$$

(die Entartung wird in der 1. Ordnung nicht aufgehoben) und

$$\begin{eqnarray*} H_{12} &=&\left\langle L\left\vert \hat{H}\right\vert R\right\... ...\delta (x-X)dx \\ &=&-\frac{q}{a_{0}}\exp \left( -a_{0}x\right) \end{eqnarray*}$$

(man hat auch $\vert H_{12}\vert=\vert H_{21}\vert=W$). Man sieht dass bei größeren Abständen $X$ die diagonale ''Störung'' $H_{11}-E_{0}$ im Vergleich mit dem nichtdiagonalen Element vernachlässigt werden kann (das ist die speziale Eigenschaft der stark lokalisierten $\delta$-Potential). Die Energien der gestörten Zustände sind dann

$$E_{+}=E_{0}-\frac{q}{a_{0}}\exp \left( -2a_{0}x\right) -\frac{q}{a_{0}}\exp \left( -a_{0}x\right)$$

und

$$E_{-}=E_{0}-\frac{q}{a_{0}}\exp \left( -2a_{0}x\right) +\frac{q}{a_{0}}\exp \left( -a_{0}x\right)$$

(vergleichen Sie das Resultat mit ihrer exakten Lösung aus einer Hausaufgabe!).