Observablen im Produktraum

Betrachten wir zunächst die Situation mit unterschiedlichen Teilchen.

Seien $A^{(1)}$ und $B^{(2)}$ die Observablen in den Räumen $H_{1}$ und $% H_{2}$, $\hat{A}^{(1)}$ und $\hat{B}^{(2)}$ sind die entsprechende Hermite'schen Operatoren die nur auf die Funktionen von entsprechenden Variablen (z.B. von $\mathbf{r}_{1}$ bzw. $\mathbf{r}_{2}$ in Ortsdarstellun) wirken. Als Observablen in $H$ betrachtet man i.A. die Operatorfunktionen von $\hat{A}^{(1)}$ und $\hat{B}^{(2)}$:

$$\hat{D}=\mathcal{F}\left( \hat{A}^{(1)},\hat{B}^{(2)}\right)$$

(typischerweise allg. Potenzreihen). In der Basis der Produktzustände $% \left\vert u_{i}\right\rangle \in H_{1}$, $\left\vert v_{i}\right\rangle \in H_{2}$ gilt:

$$\hat{D}=\hat{I}\hat{D}\hat{I}=\sum_{n,m}\sum_{k,l}\left\vert... ...t u_{k}v_{l}\right\rangle \left\langle u_{k}v_{l}\right\vert .$$

$D_{nm,kl}=\left\langle u_{n}v_{m}\right\vert \hat{D}\left\vert u_{k}v_{l}\right\rangle$ ist das Matrixelement von $D_{2}$ bezüglich der Basis $\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle$. Das Indexpaar $n,m$ numeriert die Zeilen, das Indexpaar $k,l$ numeriert die Spalten (Beispiel später). Die Einwirkung des Operators $\hat{D}$ auf den Zustand

$$\left\vert \psi \right\rangle =\sum_{n,m}a_{n,m}\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle$$

wird durch den Zustand $\left\vert \phi \right\rangle =\hat{D}\left\vert \psi \right\rangle$

$$\left\vert \phi \right\rangle =\sum_{n,m}b_{n,m}\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle$$

gegeben, mit den Entwicklungskoeffizienten

$$b_{n,m}=\sum_{k,l}D_{nm,kl}\left\vert u_{k}v_{l}\right\rangle .$$

Die Operatoren $\hat{A}^{(1)}$ und $\hat{B}^{(2)}$ wirken nur in einem der beiden Teilräume $H_{1}$ oder $H_{2}$. Die sind also die Produkte $\hat{D}=\hat{A}^{(1)}\hat{I}^{(2)}$ oder $\hat{D}=\hat{I}^{(1)}\hat{B}^{(2)}$. Die entsprechenden Wirkungen sind:

$$\hat{A}^{(1)}\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle =\sum_{p}\le... ...)}\left\vert u_{n}\right\rangle \left\vert v_{m}\right\rangle$$

und

$$\hat{B}^{(2)}\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle =\sum_{q}\le... ...}\left\vert v_{m}\right\rangle \left\vert u_{n}\right\rangle .$$

Daher folgt:

$$\hat{B}^{(2)}\hat{A}^{(1)}\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle =\hat{A}^{(1)}\hat{B}^{(2)}\left\vert u_{n}v_{m}\right\rangle$$

und somit

$$\left[ \hat{A}^{(1)},\hat{B}^{(2)}\right] =0.$$

Die Operatoren, die auf verschiedene (unterscheidbare) Teilchen wirken, kommutieren.

Der Hilbertraum $H$ ist ein passender Hilbertraum auch in dem Fall, wenn die Teilchen wechselwirken. In diesem Fall kann man schreiben

$$\hat{H}=\hat{H}_{1}+\hat{H}_{2}+\hat{H}_{12}$$

mit $\hat{H}_{1}$ und $\hat{H}_{2}$- Einteilchen-Hamiltonoperatoren, und $% \hat{H}_{12}$- Wechselwirkung. Die EF von $\hat{H}$ können dann über die Basis der Produktfunktionen entwickelt werden.

Falls man mehr als 2 unterscheidbare Teilchen hat, bildet man einen Hilbertraum

$$H=H_{1}\otimes H_{2}\otimes H_{3}\otimes ...$$

und benutzt das Basis der entsprechenden Produktzustände.