Identische Teilchen

Aus den Versuchen zur Erklärung der Atomstrukturen in Rahmen von ''älteren'' Quantentheorien hat man gelernt, dass die stationären Niveaus nicht durch beliebeg vielen Hüllenelektronen besetzt werden können. In Rahmen der ''neueren'' Theorie ist diese Beobachtung eine Folge des Pauli-Prinzips, dass 2 Elektronen nie gleichzeitig ein und denselben Zustand besetzen können. D.h. dass auch 2 nicht wechselwirkende (oder sehr schwach wechselwirkende) Elektronen nicht ganz voneinander unabhängig sein können. Hier handelt es sich um eine Folge der prinzipiellen Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen.

Da Teilchen ununterscheidbar sind, kann man nicht zwischen den Situationen unterscheiden ''Teilchen 1 am Ort $\mathbf{r}_{1}$, Teilchen 2 am Ort $% \mathbf{r}_{2}$'' und ''Teilchen 2 am Ort $\mathbf{r}_{1}$, Teilchen 1 am Ort $\mathbf{r}_{2}$'': da die Teilchen keine Individualität besitzen, entsprechen diese einer experimentellen Situation: Ein Teilchen am Ort $% \mathbf{r}_{1}$, ein Teilchen am Ort $\mathbf{r}_{2}$.

Der $N$-Teilchenzustand ist daher ein ''Pauschalzustand'': Jede Fragestellung, die auf Beobachtung eines Einzehlteilchens abzieht ist sinnlos. Es kommen nur solche Observablen in Betracht, die explizit von den Koordinaten aller Teilchen in ''symmetrischer'' Weise abhängen. Da die Produkte der Eintelichenzustände einen Hilbertraum bilden, kann man annehmen, dass die $N$-Teilchen-Zustände $\left\vert \psi _{N}\right\rangle$ die spezielle Linearkombinationen von $\left\vert \phi ^{(1)}\right\rangle \left\vert \phi ^{(2)}\right\rangle ...\left\vert \phi ^{(N)}\right\rangle$ sind (der obere Index numeriert die Teilchen).

Sind alle Teilchen des Systems gleichartig, dann bleibt der Hamilton-Operator dieses Systems $\hat{H}$ bei Vertauschung eines beliebigen Teilchenpaares unverändert. Bezeichnen wir den Operator solcher Vertauschung der Teilchen $k$ und $l$ $\hat{P}_{kl}$ (das Transpositionsoperator):

$$\hat{P}_{kl}\left\vert ...,\phi _{n}^{(k)},...,\phi _{m}^{(l... ...ert ...,\phi _{n}^{(l)},...,\phi _{m}^{(k)},...\right\rangle .$$

Wegen der Ununterscheidbarkeit soll der Operator $\hat{P}_{kl}$ nicht die Norm der WF verändern. $\hat{P}_{kl}$ ist deswegen unitär:

$$\hat{P}_{kl}^{+}=\hat{P}_{kl}^{-1}.$$

Dieser Operator soll mit dem Hamiltonian kommutieren

$$\left[ \hat{P}_{kl},\hat{H}\right] =0$$

und die Eigenwerte von $\hat{P}_{kl}$ sind die Bewegungsintegrale. Die Eigenvektoren von $\hat{H}$ sind demnach auch solche von $\hat{P}_{kl}$. Die verschiedene Transpositionoperatoren $\hat{P}_{kl}$ und $\hat{P}_{mn}$ sind i.A. nicht vertauschbar.

Zweimalige Anwendung von $\hat{P}_{kl}$ führt zu dem Ausgangszustand zurück:

$$\hat{P}_{kl}^{2}=\hat{I},$$

d.h.

$$\hat{P}_{kl}=\hat{P}_{kl}^{-1}.$$

Daher gilt

$$\hat{P}_{kl}^{+}=\hat{P}_{kl}^{-1}=\hat{P}_{kl},$$

d.h. der Operator $\hat{P}_{kl}$ ist Hermitesch.

Betrachten wir zuerst das System aus nur 2 Teilchen, und betrachten wir die Eigenfunktionen von $\hat{P}_{12}$:

$$\hat{P}_{12}\left\vert \psi _{12}\right\rangle =\lambda \left\vert \psi _{12}\right\rangle .$$

Es gilt

$$\hat{P}_{12}^{2}\left\vert \psi _{12}\right\rangle =\lambda ^{2}\left\vert \psi _{12}\right\rangle ,$$

und andererseits

$$\hat{P}_{12}^{2}\left\vert \psi _{12}\right\rangle =\hat{I}\... ... \psi _{12}\right\rangle =\left\vert \psi _{12}\right\rangle .$$

Daher

$$\lambda ^{2}=1$$

und da $\lambda$ reell ($\hat{P}_{12}$ Hermitesch!) gibt es nur 2 Möglichkeiten:

$$\lambda =1\quad \mathrm{oder}\quad \lambda =-1.$$

Die Eigenfunktionen zum Eigenwert $\lambda =1$ heißen symmetrische Funktionen,

$$\hat{P}_{12}\left\vert \psi _{12}^{+}\right\rangle =\left\vert \psi _{12}^{+}\right\rangle ,$$

die EF zu $\lambda =-1$ heißen antisymmetrische Funktionen

$$\hat{P}_{12}\left\vert \psi _{12}^{-}\right\rangle =-\left\vert \psi _{12}^{-}\right\rangle .$$

Da der Eigenwert von $\hat{P}_{12}$ ein Bewegungsintegral ist bleibt die Symmetrieeigenschaft der WF zeitlich unverändert.

• In Mehrteilchensystemen ($N>2$) sind nur die WF erlaubt die entweder symmetrisch oder antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung jedes Teilchenpaars sind.

• Jeder Operator der ''vernünftigen'' Observablen soll mit $\hat{P}% _{kl}$ kommutieren (experimentelle Ununterscheidbarkeit). Alle Matrizenelemente sollen nach der durch $\hat{P}_{kl}$ definierten unitären Transformation erhalten bleiben:
  
  $$\left\langle \psi _{12}\vert\hat{A}\vert\psi _{12}\right\ran... ...t{P}_{12}^{+}\hat{A}\hat{P}_{12}\vert\psi _{12}\right\rangle .$$
  
  

• Symmetrische und antisymmetrische Zustände sind zueinender orthogonal:
  
  $$\left\langle \psi _{12}^{+}\vert\psi _{12}^{-}\right\rangle ... ...\left\langle \psi _{12}^{+}\vert\psi _{12}^{-}\right\rangle =0$$
  
  
  (da $\hat{P}_{12}\left\vert \psi _{12}^{-}\right\rangle =-\left\vert \psi _{12}^{-}\right\rangle$ und $\left\langle \psi _{12}^{+}\right\vert \hat{P}% _{12}^{+}=\left\langle \psi _{12}^{+}\right\vert$).

• Es gibt keine Observablen, die einen symmetrischen Zustand auf einen antisymmetrischen Zustand (und umgekehrt) abbilden können:
  $$\begin{eqnarray*} \left\langle \psi _{12}^{+}\vert\hat{A}\vert\psi _{12}^{-}\rig... ...e \psi _{12}^{+}\vert\hat{A}\vert\psi _{12}^{-}\right\rangle =0. \end{eqnarray*}$$
  
  

• Die Zustände eines bestimmten Systems identischer Teilchen gehören sämtlich zu dem Hilbert-(Unter)raum der Symmetrischen Zustände $% H^{(+)}$ oder zum Hilbert-(Unter)raum der antisymmetrische Zustände $% H^{(-)}$: könnte das System sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Zustände haben, sollten auch ihre Linearkombinationen als zulässige Zustände erlaubt sein. Die sind aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch.

• Die symmetrischen WF bestimmen die Systeme aus Bosonen (Photonen, Helium-Atome, u.s.w.; i.A. die Teichen mit Gesamtspin 0, $\hbar$, $2\hbar$, u.s.w.). Die antisymmetrische FWF entsprechen den Fermionen (Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos, ..., mit Spin $\frac{1}{2}\hbar ,\frac{3}{2}\hbar ,$...).