Anwendungsbeispiel:

Wasserstoffatom. Es ist experimentell bekannt, dass

$$h\nu _{nm}\propto \left( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\right)$$

ist, die Proportionalitätskonstante $E_{R}$ ist zunächst unbekannt. Wir wissen aber, dass ein klassisches Elektron, das mit der Frequenz $\nu$ sich bewegt, vor allem mit der Frequenz $\nu$ abstrahlt (Elektrodynamik!). D.h.

$$\nu _{n,n+1}\simeq \nu _{kl}$$

und

$$\nu _{n,n+\Delta n}\simeq \nu _{kl}\Delta n$$

(Oberschwingungen). Es gilt also

$$h\nu _{n,n+\Delta n}\simeq E_{n+\Delta n}-E_{n}$$ (6)

oder $h\nu _{kl}\Delta n=E_{n+\Delta n}-E_{n}$.

• Berechnung der Rydberg-Konstante. Aus der Bahlmer-Gl. in Quantenfall bekommt man
  
  $$\frac{dE}{dn}\simeq 2\frac{E_{R}}{n^{3}},$$
  
  
  so dass $h\nu _{qu}\simeq 2E_{R}/n^{3}$. Im klassischen Fall
  
  $$\nu _{kl}=\left( \frac{4\pi \varepsilon _{0}^{2}}{me^{4}}\right) ^{1/2}\left\vert E\right\vert ^{3/2}.$$
  
  
  Für $n\rightarrow \infty$ soll $\nu _{qu}\rightarrow \nu _{kl}$ stimmen, also gilt
  
  $$\frac{2E_{R}}{hn^{3}}\simeq \left( \frac{4\pi \varepsilon _{... ...2}}{me^{4}}% \right) ^{1/2}\left\vert E_{n}\right\vert ^{3/2}.$$
  
  
  Daher
  
  $$E_{n}=-\frac{me^{4}}{8\pi \varepsilon _{0}^{2}}\frac{1}{h^{2}n^{2}}$$
  
  
  und
  
  $$E_{R}=\frac{me^{4}}{8\pi \varepsilon _{0}^{2}h^{2}}.$$
  
  

• die HASENOEHRL'sche Quantenbedingung. Aus Gl.(6) folgt:
  
  $$\nu _{kl}=\frac{1}{h}\frac{dE_{n}}{dn}.$$
  
  
  Die Integration der Gleichung ergibt
  
  $$\int \frac{dE}{\nu _{kl}}=h(n+\alpha )$$
  
  
  mit Integrationskonstante $\alpha$. Diese kann nicht aus der Korrespondenzprinzip bestimmt werden, und muss dem experimentellen Befund angepasst werden.

• Die SOMMERFELD'sche Phasenquantisierung. Da $\nu _{i}=\partial \mathcal{H}_{1}/\partial J_{i}$ bekommt man
  
  $$J_{i}=J_{i}(E)=h(n_{i}+\alpha _{i}).$$
  
  
  (Vgl. Gl.(5): Für die Eigenwirkungsvariables ist $\alpha =0$). Für das Kepler-Problem
  $$\begin{eqnarray*} J_{r} &=&h(n_{r}+\alpha _{r}) \\ J_{\vartheta } &=&h(n_{\vart... ...ha _{\vartheta }) \\ J_{\phi } &=&h(n_{\phi }+\alpha _{\phi }). \end{eqnarray*}$$
  
  
  Die Hauptquantenzahl
  
  $$n=n_{r}+n_{\vartheta }+n_{\phi }$$
  
  
  ($n=1,2,...$) definiert die Energie (wenn man $\alpha =\alpha _{r}+\alpha _{\vartheta }+\alpha _{\phi }=0$ wählt). Die Bewegung ist entartet, da $E$ nur durch $n$ definiert ist (klassisch: nur von der großen Halbachse der Orbits bestimmt). Die anderen Quantenzahlen sind
  
  $$l=n_{\vartheta }+n_{\phi }-1$$
  
  
  (Nebenquantenzahl), $0\leq l\leq n-1$ und
  
  $$m=n_{\phi }$$
  
  
  (die magnetische Quantenzahl), $-l\leq m\leq l$.