Sommerfeld'sche Phasenquantisierung und die adiabatische Invarianten

Die Ideen von Bohr und Sommerfeld werden klarer, wenn wir ihren Hintergrund erläutern. Die Eigenzustände eines Quantensystems sind sehr langlebig auf mikroskopischen Skalen (trotz ihre Wechselwirkung mit der Umgebung ändern sich ihre Energien und folglich ihre Bewegungsperioden $% T$ zwischen der ''Quantensprüngen'' nicht). Diese Tatsache soll anhand des Korrespondenzprinzips eine klassische Entsprechung haben.

Nehmen wir an, dass die Hamilton-Fkt. des Systems von einem Parameter $% \lambda$ abhängt. Dieser Parameter ändert sich langsam (''adiabatisch'') unter Einfluß äußerer Ursachen, so dass

$$T\frac{d\lambda }{dt}\ll \lambda .$$

In solchen Fällen existiert ein Wert (Kombination aus $E$ und $\lambda$) der sich kaum verändert (praktisch konstant bleibt). Solche Kombinationen nennt man adiabatische Invarianten. Nur solche ''langsamen'' Variablen können ''gequantelt'' werden.

Eindimensionale Beispiel: Hamilton-Fkt.: $\mathcal{H}=\mathcal{H}% (p,q,\lambda )$.

$$\frac{dE}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda }\frac{d\lambda }{dt}.$$

Mittlung über die Periode:

$$\frac{d\left\langle E\right\rangle }{dt}=\frac{d\lambda }{dt... ...\int_{0}^{T}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda }dt.$$

$\left\langle \mathcal{H}\right\rangle$- über die Periode gemittelte Wert von $\mathcal{H}$ bei $\lambda =const$. Aus $\dot{q}=\partial H/\partial p$ ergibt sich

$$dt=\frac{dq}{\partial H/\partial p}$$

und daher

$$T=\int_{0}^{T}dt=\oint \frac{dq}{\partial H/\partial p}.$$

Es gilt:

$$\frac{d\left\langle E\right\rangle }{dt}=\frac{d\lambda }{dt... ...ial H/\partial p}dq}{\oint \frac{dq}{\partial H/\partial p}}.$$

Wir sehen jetzt $p$ als die Funktion $p=p(q;E,\lambda )$ an. Da $\frac{% \partial H/\partial \lambda }{\partial H/\partial p}=-\frac{\partial p}{% \partial \lambda }$ (Jacobi-Determinant!) und $1/\partial H/\partial p=\partial p/\partial H\equiv \partial p/\partial E$, es ergibt sich

$$\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E}\frac{d\left\langl... ...artial p}{\partial \lambda }\frac{d\lambda }{dt}\right) dq=0.$$

Diese Gl. hat die Form

$$\frac{d}{dt}\left\langle J\right\rangle =0$$

mit

$$J=\oint p(q;E,\lambda )dq.$$

($J$ ist zeitabhängig durch $\lambda \,$ und $E(\lambda )$). Das ist genau unsere Wirkungsvariable!