Das freie Wellenpaket.

Einfachste Welle: Ebene Welle $e^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}$: eine Schwingung breitet sich aus in der Richtung von Wellenvektor $\mathbf{k}$ mit der (Phasen-)geschwindigkeit

$$u=\omega /k.$$

Da jede Welle als Superposition von ebenen Wellen aufgefasst werden kann, genügt die Kenntniss von dem Dispersionsgesetz $\omega (k)$ für die Beschreibung der zeitlichen Entwicklung.

Allg.: das Wellenpaket (Superposition) ist gegeben durch

$$\psi (\mathbf{r},t)=\int f(\mathbf{k}^{\prime })e^{i(\mathbf... ...rime }% \mathbf{r}-\omega ^{\prime }t)}d\mathbf{k}^{\prime }.$$

oder (ab hier, einfachheitshalbe, 1D)

$$\psi (x,t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(k^{\prime })e^{i(k^{\prime }x-\omega ^{\prime }t)}dk^{\prime }.$$

Nehmen wir an, die Fkt. $f(k)$ ist groß im $k$-Bereich von der Breite $\Delta k$ um irgendeinen Wert $k$. Die Gruppengeschwindigket

$$v_{g}=\frac{d\omega }{dk}$$

ist mit der Teilchengeschw. im klassischen Limes gleichgesetzt. Da diese gleich

$$v=\frac{dE}{dp}$$

ist, bekommen wir

$$p=\hbar k.$$

In allen Dimensionen

$$E=\hbar \omega ,\quad \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}.$$ (7)

Diese Zusammenhänge gelten auch relativistisch.

Diese Wellen sind reell! Beugungsexperimente:

• Elektronenbeugung:
  • Davisson & Germer (1927) - Monokristalle, von Laue-Beugung

  • G.P. Thomson (1928) Polykristalline Körper, Debye-Scherer-Bild

• Beugung von monoenergetischen Strahlen von He und H$_{2}$, Stern (1932).

• Neutronenbeugung (Neutronen müßen erst entdekt werden!).

In einem nicht-relativistischen Fall in sich langsam änderndem Potential (1d) ist

$$k=\frac{p}{\hbar }=\frac{1}{\hbar }\sqrt{2m\left[ E-U(r)\right] },$$

oder

$$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m\left[ E-U(r)\right] }}.$$